Czy podany podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{2}}\) jest zbiorem domkniętym?
a) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},...) \in l_{2}:x_{1}=x_{2}\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},...) \in l_{2}: \sum_{n=0}^{ \infty }\left| X_{n}\right| \le 1 \right\}}\)
Nie bardzo wiem jak ugryźć to zadanko...
Domkniętość zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 5 gru 2015, o 12:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 21 razy
Domkniętość zbioru
Ostatnio zmieniony 25 sty 2018, o 19:14 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Ortografia.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Ortografia.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: Domkniętość zbioru
W przypadku a) rozważ funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) dany wzorem \(\displaystyle{ f( (x_n)_{n=1}^\infty ) = x_1 - x_2}\). Jest to funkcjonał ograniczony (ciągły), a więc jego jądro jest domknięte. Zauważ jednak, że jądrem \(\displaystyle{ f}\) jest dokładnie zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Zadanie drugie można rozwiązać elementarnie, ale pokażę jak je rozwiązać szybko, odświeżając przy tym kilka faktów z analizy funkcjonalnej.
Rozważ odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ {\rm id}\colon \ell_1\to \ell_2}\). Twój zbiór to dokładnie obraz kuli jednostkowej \(\displaystyle{ B_{\ell_1}}\) w \(\displaystyle{ \ell_1}\) poprzez \(\displaystyle{ {\rm id}}\). Gdyby obraz \(\displaystyle{ {\rm id}[B_{\ell_1}]}\) był domknięty, to
Zadanie drugie można rozwiązać elementarnie, ale pokażę jak je rozwiązać szybko, odświeżając przy tym kilka faktów z analizy funkcjonalnej.
Rozważ odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ {\rm id}\colon \ell_1\to \ell_2}\). Twój zbiór to dokładnie obraz kuli jednostkowej \(\displaystyle{ B_{\ell_1}}\) w \(\displaystyle{ \ell_1}\) poprzez \(\displaystyle{ {\rm id}}\). Gdyby obraz \(\displaystyle{ {\rm id}[B_{\ell_1}]}\) był domknięty, to
- \(\displaystyle{ {\rm id}\colon \ell_1\to \overline{{\rm span}}\; {\rm id}[B_{\ell_1}]}\)