izometria częściowa

[martynkawas87]

Mam coś takiego do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left( X,\left\langle \right\rangle \right)}\) przestrzeń Hilberta, \(\displaystyle{ T:X \rightarrow Y}\) liniowe. Sprawdź, że \(\displaystyle{ T}\) jest izometrą częściową\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall x,y \in X\ \left\langle TX, TY\right\rangle =\left\langle X,Y\right\rangle}\)

[Elvis]

A jaka jest definicja częściowej izometrii? Odpowiedź na to pytanie to pewnie połowa zadania.

Warunek po prawej stronie wygląda na izometrię (a dokładniej włożenie izometryczne).

[martynkawas87]

Definicja: \(\displaystyle{ T}\)–izometria częściowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow T^* T=\text{Id}}\) .

[Mogget]

Jesteś pewna, że to jest właściwa definicja? Według mojej wiedzy \(\displaystyle{ T}\) jest częściową izometrią jeśli jest izometrią po obcięciu do \(\displaystyle{ (\ker T)^{\perp}}\). Czyli jest izometrią na pewnej domkniętej podprzestrzeni i zerem na podprzestrzeni ortogonalnej do niej. Warunkiem równoważnym byłoby \(\displaystyle{ T^* T=(\text{rzut ortogonalny na } (\ker T)^{\perp})}\).

[Elvis]

Terminologia chyba nie ta, ale jak przekształcisz jeden i drugi warunek do postaci
\(\displaystyle{ \forall_{x,y \in X} \langle (T^*T - Id) x, y \rangle = 0}\) , to widać.