Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x; y) = (x-1)(y-2)(x+y-3)}\) Znalezc lokalne ekstrema funkcji f
\(\displaystyle{ Q = \{(x; y): 0 \leqslant x \leqslant \wedge 0 \leqslant y \leqslant 4\}}\) znalezc kresy funkcji f w kwadracie Q

Ekstrema:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= (y-2)((x+y-3)+(x-1))=(y-2)(2x+y-4) \\
\frac{\partial f}{\partial y}= (x-1)((y-2)+(x+y-3))=(x-1)(x+2y-5) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= 2y-4 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= 2x-2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}= 2x+2y-6}\)
Szukamy miejsc zerowania się pierwszych pochodnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(y-2)(2x+y-4)=0 \\
(x-1)(x+2y-5)
\end{cases} \\
\Rightarrow x=1, \ y=2}\)
Liczymy wyznacznik macierzy drugich pochodnych w tym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{array} =
\begin{array}{|c c|}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} = 0}\)
No więc nie wiadomo co się tu dzieje. Trzeba to zbadać inaczej.
Niech \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\).
\(\displaystyle{ f(1+\epsilon, 2+\epsilon)=2\epsilon^4\\
f(1-\epsilon, 2-\epsilon)=-2\epsilon^4\\}\)
Zatem w otoczeniu (1,2) funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, więc w tym punkcie nie ma ekstremum, funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.

Aby zbadać kresy funkcji należy rozważyć przypadki:
a) \(\displaystyle{ x=0}\)
b) \(\displaystyle{ x=??}\) - nie podałeś obszaru
c) \(\displaystyle{ y=0}\)
d) \(\displaystyle{ y=4}\)

Zrobię dla a)
\(\displaystyle{ f(0,y)=-(y-2)(y-3)}\)
Jest to parabola, osiąga maksimum w punkcie \(\displaystyle{ y=2,5}\) a minimum w \(\displaystyle{ y=0}\).

Podobnie należy rozpatrzeć pozostałe przypadki.