Odległość między wektorami

[joasia317]

Proszę o pomoc z podobnym zadaniem: ,,W przestrzeni \(\displaystyle{ c_0}\) obliczyć odległość wektorów:
\(\displaystyle{ x = \left( x_n \right) = \left( \frac{n}{n^2+1} \right) , \\
y = \left( y_n \right) = \left( \frac{1}{n^2+1} \right) "}\)

Zaczęłam tak:

Norma w tej przestrzeni to \(\displaystyle{ ||x||:= \sup _{k=1,2,...} |t_k|}\).
Elementami tej przestrzeni są ciągi liczbowe \(\displaystyle{ x= \left( t_1,t_2,... \right)}\) zbieżne do zera.
Odległość to \(\displaystyle{ ||x-y||}\)
Niech \(\displaystyle{ x-y = z}\)
\(\displaystyle{ \left( x_n \right) - \left( y_n \right) = \left( \frac{n}{n^2+1} - \frac{1}{n^2+1} \right) = \left( \frac{n-1}{n^2+1} \right) = \left( z_n \right) .}\)
\(\displaystyle{ ||z_n|| = \sup _{k=1,2,...} |\frac{k-1}{k^2+1}| = \sup _{k=1,2,...} \frac{k-1}{k^2+1} = *}\)
Teraz liczę \(\displaystyle{ f' \left( k \right)}\) i przyrównuję do zera. Otrzymuję:
\(\displaystyle{ f' \left( k \right) = 0 \Leftrightarrow -k^2+2k+1=0, \ \ \sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{2}, \ \ k_1 = \frac{-2-2 \sqrt{2}}{-2}, \ k_2 = \frac{-2+2 \sqrt{2}}{-2}}\) jednak k ma być liczbą naturalną, zatem nie bardzo wiem co dalej...
Próbowałam jeszcze tak: \(\displaystyle{ k_2 < 0}\) zatem odpada. \(\displaystyle{ k_1}\) to ekstremum gdyby \(\displaystyle{ k_1 \in \left[ 1, \infty\right)}\)
\(\displaystyle{ f' > 0}\) gdy \(\displaystyle{ k \in \left[ 1, k_1\right) , f' <0}\) gdy \(\displaystyle{ k \in \left( k_1, \infty \right) .}\)
\(\displaystyle{ k_1 \approx 2,41,}\) zatem \(\displaystyle{ 2<k_1<3}\)
Obliczyłam \(\displaystyle{ f \left( 2 \right) = \frac{1}{5}, f \left( 3 \right) = \frac{1}{5}}\) i nadal nic mi to nie daje...
Z góry dziękuję

[janusz47]

Dobrze!

\(\displaystyle{ d = \max_{n\in N}|x_{n}- y_{n}| = \max_{x\in N} \left|\frac{n-1}{n^2+1}\right|= \frac{1}{5}.}\)



\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x-1}{x^2 +1}, x\in N.}\)

Przyjmując \(\displaystyle{ x^{*} = Entier [1 +\sqrt{2}] = 2.}\)

\(\displaystyle{ f(x^{*}) = f(2) = \frac{1}{5}.}\)