Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f=\left( f_1,f_2,...,f_m\right):\RR^n \rightarrow \RR^m}\) jest odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \mbox{d} f(x)\right| \le \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left| \left| \nabla f_j\right| \right| _{2} ^{2}}}\), gdzie gradienty \(\displaystyle{ \nabla f_j}\) są brane w punkcie \(\displaystyle{ x}\).

Jak to ruszyć?

Spróbuj najpierw udowodnić następującą nierówność:
Niech \(\displaystyle{ A=(A_{i,j})_{i\in\{1,\dotsc,m\},j\in\{1,\dotsc,n\}}}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ m\times n}\) reprezentującą operator liniowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}}\). Na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}}\) zadajemy normę indukowaną przez iloczyn skalarny. Prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \|A\|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|A_{i,j}|^{2}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \|A\|}\) oznacza normę operatorową.

Z tej nierówności i postaci \(\displaystyle{ df(x)}\) łatwo wynika Twoja nierówność.