Wyznaczyć wzór
: 19 paź 2017, o 23:34
W \(\displaystyle{ \RR^2}\) dany jest pewien iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle}\).
Definiujemy normę \(\displaystyle{ \left| \left| x \right| \right|= \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }, x \in \RR^2}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sup_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| \left( 1,2\right) \right| \right|= \frac{ \sqrt{5} }{3}}\),\(\displaystyle{ \left| \left| \left(-2,1\right) \right| \right|= \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \left| \left| x\right| \right|=\left| \left| \left( x_1,x_2\right) \right| \right|}\)
No to tu się rozchodzi by ten iloczyn skalarny znaleźć. Więć napisałem ogólny wzór na iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) przez siebie:
\(\displaystyle{ <x_1,x_2>=ax_1^2+cx_1x_2+bx_1x_2+dx^2}\) i po podstawieniu danych z zadania oraz wykorzystaniu, że iloczyn skalarny jest symetryczny dostałem: \(\displaystyle{ a=a,b=c=3/4a-35/36,d=10/9-a}\). Teraz zapisałem funkcję \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=\frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/2a-35/18)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }}\) no i na niej chciałem liczyć pochodne cząstkowe i przyrównać je do zera znaleźć extrema i przyrównać do danych z zadania, aby znaleźć \(\displaystyle{ a}\) jednak wychodzi mi takie \(\displaystyle{ a}\), że warunek na iloczyn skalarny jest niespełniony. Czy to dobra metoda postępowania i tylko błąd rachunkowy czy wszystko jest źle?
Definiujemy normę \(\displaystyle{ \left| \left| x \right| \right|= \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }, x \in \RR^2}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sup_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| \left( 1,2\right) \right| \right|= \frac{ \sqrt{5} }{3}}\),\(\displaystyle{ \left| \left| \left(-2,1\right) \right| \right|= \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \left| \left| x\right| \right|=\left| \left| \left( x_1,x_2\right) \right| \right|}\)
No to tu się rozchodzi by ten iloczyn skalarny znaleźć. Więć napisałem ogólny wzór na iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) przez siebie:
\(\displaystyle{ <x_1,x_2>=ax_1^2+cx_1x_2+bx_1x_2+dx^2}\) i po podstawieniu danych z zadania oraz wykorzystaniu, że iloczyn skalarny jest symetryczny dostałem: \(\displaystyle{ a=a,b=c=3/4a-35/36,d=10/9-a}\). Teraz zapisałem funkcję \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=\frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/2a-35/18)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }}\) no i na niej chciałem liczyć pochodne cząstkowe i przyrównać je do zera znaleźć extrema i przyrównać do danych z zadania, aby znaleźć \(\displaystyle{ a}\) jednak wychodzi mi takie \(\displaystyle{ a}\), że warunek na iloczyn skalarny jest niespełniony. Czy to dobra metoda postępowania i tylko błąd rachunkowy czy wszystko jest źle?