Wyznaczyć wzór

[max123321]

W \(\displaystyle{ \RR^2}\) dany jest pewien iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle}\).
Definiujemy normę \(\displaystyle{ \left| \left| x \right| \right|= \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }, x \in \RR^2}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sup_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \RR^2/0} \frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| \left( 1,2\right) \right| \right|= \frac{ \sqrt{5} }{3}}\),\(\displaystyle{ \left| \left| \left(-2,1\right) \right| \right|= \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \left| \left| x\right| \right|=\left| \left| \left( x_1,x_2\right) \right| \right|}\)

No to tu się rozchodzi by ten iloczyn skalarny znaleźć. Więć napisałem ogólny wzór na iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) przez siebie:
\(\displaystyle{ <x_1,x_2>=ax_1^2+cx_1x_2+bx_1x_2+dx^2}\) i po podstawieniu danych z zadania oraz wykorzystaniu, że iloczyn skalarny jest symetryczny dostałem: \(\displaystyle{ a=a,b=c=3/4a-35/36,d=10/9-a}\). Teraz zapisałem funkcję \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{\left| \left| x\right| \right|_2 }{\left| \left| x\right| \right| }=\frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(3/4a-35/36)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x_1^2+x_2^2} }{ \sqrt{ax_1^2+(3/2a-35/18)x_1x_2+(10/9-a)x^2} }}\) no i na niej chciałem liczyć pochodne cząstkowe i przyrównać je do zera znaleźć extrema i przyrównać do danych z zadania, aby znaleźć \(\displaystyle{ a}\) jednak wychodzi mi takie \(\displaystyle{ a}\), że warunek na iloczyn skalarny jest niespełniony. Czy to dobra metoda postępowania i tylko błąd rachunkowy czy wszystko jest źle?

[bartek118]

Ustalmy wektor \(\displaystyle{ (x,y)}\) i zapiszmy go jako kombinacja liniowa \(\displaystyle{ (1,2)}\) i \(\displaystyle{ (-2,1)}\). Mamy
\(\displaystyle{ x = \alpha - 2 \beta \\
y = 2\alpha + \beta}\)
więc
\(\displaystyle{ x + 2y = 5 \alpha \\
\alpha = \frac{1}{5} (x+2y)}\)
i
\(\displaystyle{ y - 2x = 5 \beta \\
\beta = \frac{1}{5} (y-2x)}\)
Dalej, mamy
\(\displaystyle{ \|(x,y)\|^2 = \alpha (1,2) + \beta (-2,1), \alpha (1,2) + \beta (-2,1) \rangle = \alpha^2 \| (1,2)\|^2 + \beta^2 \| (-2,1) \|^2 + 2 \alpha \beta \langle (1,2), (-2,1) \rangle}\)
Zatem, aby znać normę \(\displaystyle{ \|(x,y)\|}\) wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ \langle (1,2), (-2,1) \rangle}\).

[max123321]

No dobra, ale po pierwsze skąd jest ta równość?
\(\displaystyle{ \langle\alpha (1,2) + \beta (-2,1), \alpha (1,2) + \beta (-2,1) \rangle = \alpha^2 \| (1,2)\|^2 + \beta^2 \| (-2,1) \|^2 + 2 \alpha \beta \langle (1,2), (-2,1) \rangle}\)
Jest jakiś wzór na to?
No dobra, a jak znaleźć \(\displaystyle{ \langle (1,2), (-2,1) \rangle}\)?

A tak jak robiłem jest źle?

[octahedron]

Ta równość jest stąd:

\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}\|\alpha u+\beta w\|^2=&\langle\alpha u+\beta w,\alpha u+\beta w\rangle\\
=&\langle\alpha u,\alpha u+\beta w\rangle+\langle\beta w,\alpha u+\beta w\rangle\\
=&\langle\alpha u,\alpha u\rangle+\langle\alpha u,\beta w\rangle+\langle\beta w,\alpha u\rangle+\langle\beta w,\beta w\rangle\\
=&\langle\alpha u,\alpha u\rangle+2\langle\alpha u,\beta w\rangle+\langle\beta w,\beta w\rangle\\
=&\alpha^2\langle u,u\rangle+2\alpha\beta\langle u,w\rangle+\beta^2\langle w,w\rangle\\
=&\alpha^2\|u\|^2+2\alpha\beta\langle u,w\rangle+\beta^2\|w\|^2\\
\end{array}}\)

Dlatego właśnie

\(\displaystyle{ \|(x_1,x_2)\|^2=\|x_1\cdot(1,0)+x_2\cdot(0,1)\|^2=x_1^2\|(1,0)\|^2+2x_1x_2\langle(1,0),(0,1)\rangle+\\+x_2^2\|(0,1)\|^2=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2}\)

A pomysł wydaje mi się dobry, ale nie sprawdzałem obliczeń.