Strona 1 z 1

Twierdzenie o przyrostach (inna wersja)

: 15 paź 2017, o 20:17
autor: Pakro
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą przestrzeniami unormowanymi nad tym samym ciałem. (\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)). \(\displaystyle{ U}\) otwarty podzbiór \(\displaystyle{ X}\). Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:U \rightarrow Y}\) jest ciągła w punktach \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in U}\), różniczkowalna w każdym punkcie postaci \(\displaystyle{ \lambda x_1 +(1-\lambda)x_2}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda \in (0,1)}\), to istnieje \(\displaystyle{ \beta \in (0,1)}\), że
\(\displaystyle{ \left| \left| f(x_1) - f(x_2) \right| \right| \le \left| \left| f'(\beta x_1 + (1-\beta)x_2) \right| \right|}\)

Mam kilka wskazówek:
1. Możemy zał, że przestrzenie są nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - nie wiem dlaczego,
2. b.s.o \(\displaystyle{ f(x_1) \neq f(x_2)}\) - to oczywiste,
3. istnieje \(\displaystyle{ y^*:Y \rightarrow \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ y^*(f(x_1)-f(x_2))=\left| \left| f(x_1) - f(x_2) \right| \right|}\) - tu widzę zastosowanie wniosku z tw. Hahna-Banacha,
4. Dla funkcji \(\displaystyle{ g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}}\) zastosować tw. Lagrange'a o wartości średniej.

Próbowałem korzystać z takiego twierdzenia:
Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie przestrzenią unormowaną nad \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\), \(\displaystyle{ x_0 \in Y\0}\), wówczas istnieje funkcjonał liniowy i ciągły \(\displaystyle{ y^*:Y \rightarrow \mathbb{K}}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| y^*(x_0) \right| =\left| \left| x_0 \right| \right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| y^*\right| \right|=1}\).

Macie jakiś pomysł?

-- 17 paź 2017, o 18:47 --

Dochodzę do momentu, w którym mam coś takiego
\(\displaystyle{ g(\lambda)=y^*(f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2))}\)
Jest to funkcja różniczkowalna (jako złożenie funkcji różniczkowalnych). Stosująć tw. Lagrange'a mamy istnienie \(\displaystyle{ \beta \in (0,1)}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{g(1)-g(0)}{1-0}=g'(\beta)}\)
Lewa strona to \(\displaystyle{ y^*(f(x_1)-f(x_2))}\) na moduł równe dokładnie \(\displaystyle{ \left| \lef|t f(x_1)-f(x_2) \right| \right|}\), czyli to co chcemy. Nie potrafię się doliczyć tej pochodnej z \(\displaystyle{ g}\). Traktuje ją jako pochodną złożenia i korzystam z faktu, że \(\displaystyle{ (y^*)'(x)=y^*}\). Ma ktoś jakiś pomysł jak otrzymać z tego oczekiwaną nierówność?

-- 18 paź 2017, o 14:23 --

Temat już nieaktualny ;)