\(\displaystyle{ ||f|| =|f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x).}\)
Muszę wykazać, że jest to norma na przestrzeni funkcji ciągłych z przedziału [0, 1]:Aksjomat 1 (o nieujemności normy) już wykazałem wykazując, że \(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x)}\) jest nieujemne a po dodaniu |f(0)| (nieujemnego czynnika) całe wyrażenie jest nieujemne.
Problem mam z drugim aksjomatem. Jak wykazać, że \(\displaystyle{ ||\lambda f|| = |\lambda| \cdot ||f||}\)?
Oczywiście zaczynając mamy:
\(\displaystyle{ ||\lambda f|| = |\lambda f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) =}\)
\(\displaystyle{ = |\lambda| |f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) =}\)
Nie wiem co z tym \(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr)}\) zrobić. Wykazałem w 1. kroku, że to wyrażenie jest na pewno nieujemne, ale co dalej?\(\displaystyle{ = |\lambda| |f(0)| + \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) =}\)
Gdyby było dalej:
\(\displaystyle{ \max_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) - \min_{x \in [0, 1]}\bigl(\lambda f(x)\bigr) = |\lambda| \bigl(\max_{x \in [0, 1]}f(x) - \min_{x \in [0, 1]}f(x)\bigr)}\)
to by poszło bo lambdę przed nawias i sprawa załatwiona ale nie widzę wprost, żeby to było prawdą. Może jakieś pomysły?