operator samosprzężony na zbiorze gęstym

[exupery]

Dzień dobry,
Dany jest operator \(\displaystyle{ J}\) określony na zbiorze \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ \bar{A}=B}\) wiemy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in A <Ja,b>=<a,Jb>}\). Czy możemy wnioskować stąd, że operator \(\displaystyle{ J}\) jest samosprzężony?

[Mogget]

Edit:
Czym są \(\displaystyle{ A,\;B}\) (czego są podzbiorami)?

[exupery]

\(\displaystyle{ A \subset B}\), dla przykładu niech \(\displaystyle{ A = W^{2}_2, B=L^2}\)

[Mogget]

Sądzę zatem, że nie: weźmy za przykład \(\displaystyle{ A=\ell^{2}(\mathbb{N}),\;B=\text{span}\{e_{n}\;|\;n\in\mathbb{N}\}}\) i niech \(\displaystyle{ J}\) będzie identycznością na \(\displaystyle{ B}\). Korzystając z aksjomatu wyboru możemy znaleźć liniowo niezależny zbiór wektorów \(\displaystyle{ \{f_{i}\;|\;i\in I\}}\) taki, że \(\displaystyle{ A=B\oplus \text{span}\{f_{i}\;|\;i\in I\}}\) (suma prosta w sensie algebraicznym). Zadajmy \(\displaystyle{ J f_i=0\;(i\in I)}\) - wtedy \(\displaystyle{ J}\) jest określony na całej przestrzeni Hilberta i jest symetryczny na gęstej podprzestrzeni (czyli \(\displaystyle{ \langle J x,y\rangle=\langle x ,y\rangle=\langle x,J y\rangle}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in B}\)). Nie jest to operator samosprzężony, dlatego, że nie jest domknięty: weźmy dowolny element \(\displaystyle{ f\in\text{span}\{f_{i}\;|\;i\in I\}\setminus\{0\}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) -ciąg elementów z \(\displaystyle{ B}\) zbiegający do \(\displaystyle{ f}\). Ciąg \(\displaystyle{ (J f_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f}\), ale \(\displaystyle{ Jf=0}\).