twierdzenie spektralne

[niebieska_biedronka]

Usiłuję zrozumieć twierdzenie spektralne, mając niestety niewielkie podstawy teorii miar i w ogóle analizy funkcjonalnej...

Treść tw. (z wykładu):
Jeśli \(\displaystyle{ T \in \mathcal{B}(H)}\) i \(\displaystyle{ T}\) jest operatorem samosprzężonym, to istnieje dokładnie jedna miara spektralna \(\displaystyle{ E}\) taka, że \(\displaystyle{ \overline{\supp(E)}= \sigma(E)}\) i \(\displaystyle{ T = \int_{\sigma(E)}\lambda E(d \lambda)}\).

Ponadto dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ p(T) = \int_{\sigma(T)} p(\lambda) E(d \lambda)}\) oraz
\(\displaystyle{ \forall A \in \mathcal{B}(H) AT=TA \Leftrightarrow \forall \Delta E(\Delta)A = A E(\Delta)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta}\) jest zbiorem borelowskim.

Znam definicję całki Lebesgue'a; ogarnęłam już, że można także definiować całkę z miary wektorowej, a przez to i z miary spektralnej - choć nie bardzo jeszcze rozumiem w jaki sposób... natomiast nie wiem przede wszystkim jak rozumieć \(\displaystyle{ dE(\lambda)}\) - to jest całka po mierze \(\displaystyle{ E}\), czy po wartości tej miary (będącej operatorem)...? Czym ta lambda w ogóle jest?

Zdaję sobie sprawę, że pytanie może nie najmądrzejsze - należałoby zacząć od podstaw, a potem zabierać się za takie twierdzenie, niemniej liczę na życzliwość i choćby kilka konkretów, które pozwolą zebrać i uporządkować informacje. Przejrzałam podręcznik Rudina, ale nawet wypowiedź twierdzenia jest nieco inna, a i tam brakuje definicji...
Pomocy, dobre dusze!

[M Maciejewski]

Najpierw piszesz, że ogarniasz całkę z miary wektorowej, a potem piszesz, że tego nie rozumiesz.
Tutaj mamy właśnie całkę względem miary spektralnej.

Ja to sobie tłumaczę na mój chłopski rozum tak:
Jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\), którą chcę całkować, to przybliżam ją funkcją prostą \(\displaystyle{ f_0}\) i ją całkuję. Im lepiej przybliżę, tym lepsza aproksymacja całki funkcji \(\displaystyle{ f}\). Tak więc wystarczy ogarnąć rozumem całkę z funkcji prostych.

Jeśli mamy \(\displaystyle{ f_0=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{A_k}}\), to \(\displaystyle{ \int f_0\,\mbox d\mu =\sum_{k=1}^n c_k\mu(A_k)}\) (*).
To jest mam nadzieję jasne: całka po funkcji stałej na zbiorze \(\displaystyle{ A_k}\) to miara zbioru razy wartość funkcji. Łatwo to zrozumieć w przypadku całki Lebesgue'a: to pole pod wykresem (pole ze znakiem). Ok, to chyba nie wymaga wyjaśnienia.

Teraz jest najciekawsza sprawa: jeśli mamy sytuację klasyczną, to (*) jest sumą iloczynów liczb. W przypadku funkcji wektorowej, mamy sumę iloczynów postaci: wektor razy liczba, ponieważ \(\displaystyle{ c_k}\) jest wektorem, a \(\displaystyle{ \mu(A_k)}\) jest liczbą. Jeśli jednak mamy funkcję rzeczywistą, zaś miarę zespoloną, mamy sumę iloczynów postaci: liczba razy wektor, ponieważ \(\displaystyle{ c_k}\) jest liczbą, a \(\displaystyle{ \mu(A_k)}\) jest wektorem. Tak więc również to da się wyznaczyć, i to jest cała tajemnica.

[niebieska_biedronka]

@M Maciejewski, pisząc "ogarniam" miałam na myśli "wiem, że istnieje" nie do końca właśnie rozumiem definicję, bo chyba nie dysponuję zbyt dobrą.

W ogóle dzięki za odpowiedź

Całka Lebesgue'a z funkcji prostej do mnie przemawia, ale jak przejdziemy do miary spektralnej, to przecież wartością tej miary na zbiorze jest odwzorowanie, prawda? no ale powiedzmy że mamy wtedy sumę iloczynów liczb i odwzorowań, która jest odwzorowaniem. Ale nie wiem, w jaki sposób rozszerzamy potem tę definicję na funkcje mierzalne lub/i monotoniczne...