Matematyka.pl

Jeśli funkcja F jest określona wzorem \(\displaystyle{ F(x,y) = e^{x+y} - cos(xy)}\) to:
Funkcja uwikłana \(\displaystyle{ y = y(x)}\) spełniająca warunki \(\displaystyle{ F(x, y(x)) = 0}\) i \(\displaystyle{ y(0) = 0}\) ma ekstremum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\)?
W jaki sposób to udowodnić/policzyc?

\(\displaystyle{ F(0,0)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dF}{dy} = x \sin(xy)+e^{x+y} \ \frac{dF}{dy} (0,0) = 1}\)
Możemy korzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej. Liczymy pochodną cząstkową:
\(\displaystyle{ \frac{dF}{dx} = y \sin(xy)+e^{x+y}}\) - ciągła, więc korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji uwikłanej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dF}{dx}}{\frac{dF}{dy}} = \frac{y \sin(xy)+e^{x+y}}{x \sin(xy)+e^{x+y}}}\)
Nie zeruje się ona w (0,0), zatem funkcja uwikłana nie ma tam ekstremum lokalnego...

Przydałoby się, żeby ktoś to zweryfikował.

Ostatni wzór z minusem.