Widmo i wartości własne operatora

[gienia]

Jak wyznaczyć widmo operatora \(\displaystyle{ (Tx_n)^{ \infty } _{n=1}=(\sin nx_n)^{ \infty } _{n=1}}\)?

Wiem, że wartości własne \(\displaystyle{ \lambda}\) wyznacza się z równania \(\displaystyle{ Tx_n=\lambda x_n}\), ale nie wiem jak tutaj to wyznaczyć.

[bartex42]

Dobrze byłoby dokładniej napisać, jaka jest dziedzina i przeciwdziedzina operatora. Czy ten pierwszy nawias nie powinien stać za \(\displaystyle{ T}\)? To jest jakiś operator na ciągach, tak? Jeśli tak, to warunek na wartość własną powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \exists_{(x_n)\neq0}\hskip1ex T(x_n)=\lambda(x_n)}\),
gdzie równość (i nierówność pod kwantyfikatorem) jest równością w przestrzeni ciągów, czyli po wszystkich współrzędnych (i zero też ciągowe, czyli ciąg samych zer).

[gienia]

Tak, nawias źle postawiłam.

\(\displaystyle{ T(x_n)^{ \infty } _{n=1}=(\sin nx_n)^{ \infty } _{n=1}}\)
W zadaniu mam pokazać, że ten operator nie jest zwarty korzystając z twierdzenia o widmie operatora zwartego.

Czyli mam pokazać, że jest nieskończenie wiele wartości własnych, wtedy operator nie jest zwarty?

Wychodzi mi, że wektory własne są postaci \(\displaystyle{ \lambda=\ (\frac{\sin x_1}{x_1},\frac{\sin 2x_2}{x_2},...\ )}\)

I nie wiem, co mam z tym dalej zrobić.

[a4karo]

A ten operator jest liniowy?

[gienia]

Nie wiem, nie mam tego zapisanego :/
Ale pewnie tak.

[bartex42]

To znajdź definicję liniowości operatora i sprawdź z definicji.
Rzeczywiście, jeśli nie jest liniowy, to nie ma co mówić o zwartości.

[gienia]

Ok, dzięki, nie wiedziałam, że zwarty musi być liniowy.

\(\displaystyle{ (Tx_n)^{ \infty } _{n=1}=(\sin x_n)^{ \infty } _{n=1}}\) to też nie jest liniowe, bo \(\displaystyle{ sin(a+b) \neq sina+sinb}\), tak?

A pomijając zwartość, jak wyznaczyć widmo?
Doszłam do tego: \(\displaystyle{ \lambda=\ (\frac{\sin x_1}{x_1},\frac{\sin 2x_2}{x_2},...\ )}\)
i nie wiem, co dalej.

[bartex42]

Jeśli przekształcenie nie jest liniowe, to nie ma sensu sprawdzać wartości własnych. Są zdefiniowane tylko dla endomorfizmów liniowych.

[Spektralny]

Jak wyznaczyć widmo operatora \(\displaystyle{ (Tx_n)^{ \infty } _{n=1}=(\sin nx_n)^{ \infty } _{n=1}}\)?

Nie rozumiem jaki tutaj jest problem z liniowością operatora, wszak to mnożenie ciągu \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty}\) przez \(\displaystyle{ (\sin n)_{n=1}^{\infty}}\). Jest to zdecydowanie operacja liniowa. Spróbuj sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ e_n}\) (składające się z samych zer, poza miejscem o numerze \(\displaystyle{ n}\) na którym przyjmują wartość 1) są wektorami własnymi tego operatora, a jeśli tak, jakie wartości własne im odpowiadają. Sprawdź, że to dokładnie liczby \(\displaystyle{ \sin n}\).

Zgaduję, że rozważasz ten operator, jako operator na \(\displaystyle{ \ell_2}\) (wtedy można łatwo rozwiązać to zadanie). Przypomnijmy, że

• \(\displaystyle{ \overline{\{\sin n\colon n\in \mathbb{N}\}}=[-1,1]}\).

Nasz operator jest zdecydowanie samosprzężony (bo ciąg \(\displaystyle{ (\sin n)_{n=1}^\infty}\) jest rzeczywisty), więc

• \(\displaystyle{ \sigma(T)\subseteq [-|T|,|T|]}\).

Mamy jednak \(\displaystyle{ \|T\|=1}\) zatem z gęstości wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (\sin n)_{n=1}^\infty}\) w \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i zwartości widma wnioskujemy, że

• \(\displaystyle{ \sigma(T)=[-1,1]}\).

[a4karo]

Jak wyznaczyć widmo operatora \(\displaystyle{ (Tx_n)^{ \infty } _{n=1}=(\sin nx_n)^{ \infty } _{n=1}}\)?

Nie rozumiem jaki tutaj jest problem z liniowością operatora, wszak to mnożenie ciągu \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty}\) przez \(\displaystyle{ (\sin n)_{n=1}^{\infty}}\). Jest to zdecydowanie operacja liniowa.

Mnie tam uczono, że \(\displaystyle{ \sin nx_n=\sin (nx_n)}\) , natomiast Twoją interpretację radzono zapisywać \(\displaystyle{ x_n\sin n}\) lib \(\displaystyle{ (\sin n)x_n}\).

[liu]

Spektralny przyjął taką konwencję, przy której treść zadania ma sens;)

[a4karo]

Spektralny przyjął taką konwencję, przy której treść zadania ma sens;)

Jasne, tyle ,że za odpowiedz pozytywną na zadanie: "sprawdź, czy operator \(\displaystyle{ (x_n)\to(\sin nx_n)}\) jest liniowy" dostałby dwóję

[Spektralny]

Spektralny przyjął taką konwencję, przy której treść zadania ma sens;)

Jasne, tyle ,że za odpowiedz pozytywną na zadanie: "sprawdź, czy operator \(\displaystyle{ (x_n)\to(\sin nx_n)}\) jest liniowy" dostałby dwóję

Nie u mnie.

[a4karo]

Oj masz rację. Zapomniałem że w Anglii nie tylko po lewej stronie jeżdźą, ale i działania od lewej do prawej wykonują