Matematyka.pl

wyznacz pochodna kieronkowa funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3x^2-6xy+y^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ P= ( -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}}\) w kierunku wektora jednostkowego tworzacego kat \(\displaystyle{ \alpha}\) z dodatnia polosia osi OX. dla jakiego kata pochopdna ta ma najwieksza wartosc?

Obliczamy wpierwej:
\(\displaystyle{ \nabla f = \left[ 6x - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\)
Niech nasz wektor to \(\displaystyle{ \vec{u} = \left[ \cos\alpha , \sin\alpha \right]}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \nabla_u f(x,y) = \nabla f \circ \vec{u} = \left( 6x - 6y \right) \cos\alpha + \left( - 6x + 2y \right) \sin\alpha \\
\nabla_u f \left( - \frac{1}{3}, - \frac{1}{2} \right) = 2 \sin\alpha }\)
Następnie szukamy ekstremów funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right)}\).
Maksimum jest dla \(\displaystyle{ g_{\max} = g \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}}\) (zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha \in [0; 2 \pi )}\) )
Czyli dla \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{4}}\) pochodna kierunkowa osiąga największą wartość.

PS. Szczerze mówiąc to patrząc na wynik nie jestem pewien, czy się gdzieś nie pomyliłem

edit
Teraz już powinno być OK.

\(\displaystyle{ \nabla f = \left[ 6x^2 - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\) nei weim czy dobrze rozumiem o co chodzi ale raczej powinno byc \(\displaystyle{ \nabla f = \left[ 6x - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\) ale bardzo dziekuje o to co zrobiles mniej wiecej wiem o co chodzi:) ale jak mozesz to podaj poprawny wynik i sprawdz czy dobrze znalazlem blad

rafalmistrz, ano widzisz, wydawało mi się, że we wzorze funkcji jest \(\displaystyle{ 2x^3}\) Już nanoszę poprawki.