Matematyka.pl

wykaz, że równanie
\(\displaystyle{ \ln xy+y^{2}+sin pix=1}\)
okresla w otoczeniu punktu (1,1) rosnaca funkcję \(\displaystyle{ y=y(x)}\)

Można skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypomnijmy to twierdzenie:

TFU

Niech

\(\displaystyle{ F:R^l R^k R^k}\)

będzie funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) określoną na pewnym otwartym podzbiorze.

Załóżmy, że:

1) Dla pewnego punktu \(\displaystyle{ x_0 R^l}\) istnieje \(\displaystyle{ y_0 R^k}\), że \(\displaystyle{ F(x_0,y_0)=0}\)

2) \(\displaystyle{ det(Df_y(x_0,y_0)) 0}\) (innymi słowy macierz różniczki f, w kwadratowej części "odpowiadającej za zmienną y" jest nieosobliwa)

Wówczas istnieją otoczenia \(\displaystyle{ U R^l}\), \(\displaystyle{ V R^k}\) punktów \(\displaystyle{ x_0, y_0}\), że układ równań F(x,y)=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie dla wszystkich punktów z tych otoczeń.

Ponadto, można zdefiniować na zbiorze U funkcję y(x), klasy C1, gdzie:

\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)

----

W naszym przypadku, równanie podane przez Ciebie ma rozwiązanie w punkcie (1,1). W otoczeniu punktu (1,1) funkcja \(\displaystyle{ F(x,y) = ln(xy) + y^2 + sin(\pi x) - 1}\) jest klasy C1, zaś w jej przypadku:

\(\displaystyle{ Df_y(x,y) = \frac{1}{y} + 2y}\)

Więc

\(\displaystyle{ Df_y(1,1) = 3 0}\)

--

Zatem istotnie mamy już w garści zadanie. Istnieją odpowiednie otoczenia U, V, że można określić funkcję y(x), klasy C1. Ciebie interesuje, czy jest w pewnym otoczeniu rosnąca?

Po to mamy wzór na jej pochodną.

\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)

W tym przypadku nie dostaniesz żadnych macierzy, tylko normalne wyrażenie algebraiczne. Wystarczy zatem wyliczyć, dostaniesz pochodną y(x), no i trzeba się modlić, żeby była to funkcja dodatnia na przedziale U, to wystarczy, aby y(x) była rosnąca.

Przeliczenie zostawiam. Mam nadzieję, że wychodzi.

Ślicznie dziękuje za pomoc:) pozdrawiam:)