twierdzenie Banacha Steinhausa

[gienia]

Pewien ciąg o wartościach rzeczywistych \(\displaystyle{ (x_n)}\) ma tę własność, że dla każdego \(\displaystyle{ (y_n) \in l_2(\mathbb R)}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x_n y_n}\) jest zbieżny. Wykazać, że \(\displaystyle{ (x_n) \in l_2(\mathbb R)}\).

W tym celu można rozważyć funkcjonały na \(\displaystyle{ l_2}\) zadane przez sumy częściowe tego szeregu i użyć tw. Banacha-Steinhausa.

Twierdzenie:
X, Y Banacha, A-dow. zbiór indeksów, \(\displaystyle{ \forall \alpha \in A}\) \(\displaystyle{ T_{\alpha} \in B(X,Y)}\) i \(\displaystyle{ (\forall x \in X)(\exists M_x)\sup \{\|T_{\alpha}x\|: \alpha \in A\} < M_x}\).
Wtedy \(\displaystyle{ (\exists M< \infty) (\forall \alpha \in A) ||T_{\alpha}||<M}\).

Jakoś chcę zdefiniować te funkcjonały, może tak?
\(\displaystyle{ T_k y= \sum_{n=1}^{ k } x_n y_n}\)

Potem muszę pokazać, że \(\displaystyle{ sup|| \sum_{n=1}^{ \infty } x_n y_n||< \infty}\)
Czyli że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } | \sum_{n=1}^{ k } x_n y_n| ^2< \infty}\)

Jak mam to zrobić?

[Kartezjusz]

Cauchy Schwartz.

[Elvis]

Propozycja rodziny funkcjonałów jest dobra, tylko przeczytajmy ze zrozumieniem warunek z twierdzenia Banacha-Steinhausa:
dla każdego \(\displaystyle{ y \in l^2}\), \(\displaystyle{ \sup_{k \in \mathbb{N}} |T_k y| < \infty}\).

Ten warunek wynika wprost ze zbieżności szeregu. Jeśli skorzystamy z twierdzenia i zauważymy, że norma funkcjonału \(\displaystyle{ T_k}\) jest równa normie \(\displaystyle{ l^2}\) ciągu \(\displaystyle{ x}\) obciętego do \(\displaystyle{ k}\) pierwszych wyrazów, to mamy tezę.

[gienia]

Nie wiem jak tę normę funkcjonału \(\displaystyle{ T_k}\) wyznaczyć.
Z twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ ||T_k||< \infty}\) , tylko nie wiem jak to rozpisać, żeby było widać, że to jest to samo, co norma tego ciągu x obcięta do k wyrazów.

[Elvis]

Akurat \(\displaystyle{ ||T_k||< \infty}\) jest raczej oczywiste. Z twierdzenia wynika istnienie \(\displaystyle{ M}\) takiego, że \(\displaystyle{ ||T_k|| \leqslant M}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\), to znaczy
\(\displaystyle{ |T_k y| \leqslant M ||y||_2}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in l^2}\). Jeśli przetestujesz to odpowiednio obciętym ciągiem \(\displaystyle{ x}\), to otrzymasz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^k x_n^2 \leqslant M.}\)