równanie różniczkowe jednorodne względem x i y

[TS]

2 pyatnia:
1) w tym przykładzie jako co podstawić 'u' ?
\(\displaystyle{ 2\sqrt{xy}-y+xdy/dx=0}\)
2) mógłby ktoś wyłowić błąd w metodzie mej rozwiązywania?

\(\displaystyle{ dy/dx=-(x+y)/x = (-x - y)/x=-1-y/x

y=y/x

y=ux

dy/dx=xdu/dx + u

\int du/dx=\int -1-2u/x

-ln(1-2u)=lnx+lnc

-(1-2u)=xc

-(1-2y/x)=xc

(-1+2y/x)=cx

c=x^2-x+2y}\)
a w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ x^2+2xy=c}\)

[luka52]

ad 1,
Podziel obustronnie to równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\) i podstaw \(\displaystyle{ u = \sqrt{y}}\)

ad 2.
\(\displaystyle{ y' = -1 - \frac{y}{x}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ u =\frac{y}{x} y = ux, \quad y' = u'x + u}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ u'x + u = - 1 - u\\
\frac{du}{-1 - 2u} = \frac{dx}{x}\\
- \frac{1}{2} \ln |-1 - 2u| = \ln |x| + C\\
\frac{1}{\sqrt{-1-2u}} = Cx\\
\frac{1}{-1-2u} = Cx^2\\
-1 - 2u = \frac{C}{x^2}\\
u = - \frac{1}{2} + \frac{C}{x^2}\\
y = - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}\\
2 y x = - x^2 + C\\
x^2 + 2y x = C}\)
(z tym, że C z jednego równania, to już nieco inne C niż w następnym )

[TS]

ad2
zrobiles blad?:
\(\displaystyle{ u=-1-y/x
y=ux}\)
winno być:
\(\displaystyle{ y=-x-ux}\)
a w 1)
gdy podziele tak jak mowisz i podstawie za pierwiastek y u, to drugim ulamkiem zostaje staje sie y/u. A powinny zostac chyba tylko x i u..

[luka52]

O czym innym myślałem, a co innego pisałem
Podstawienie to \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\). Już poprawiłem wcześniejszego posta.

[TS]

tez poprawilem swoj post,zobacz prosze

[luka52]

ad 1.
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x y} - y + x \frac{dy}{dx} = 0\\
2 \sqrt{x} - \sqrt{y} + \frac{x}{\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ u = \sqrt{y} u' = \frac{y'}{2 \sqrt{y}}}\)
Czyli sprowadzamy równanie do postaci:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x} - u + 2x u' = 0}\)
I dalej należy je rozwiązać.

ad 2.
Równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ y' = - \frac{x+y}{x}}\), czyż nie?
Czyli można to zapisać jako
\(\displaystyle{ y' = - \left( 1 + \frac{y}{x} \right)\\
\frac{dy}{dx} = - 1 - \frac{y}{x}}\)
I teraz należy podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) co sprowadzi równanie do postaci:
\(\displaystyle{ u'x + u = -1 - u}\)
Rozwiązanie znajduje się w moim pierwszym postcie.

[TS]

"Czyli sprowadzamy równanie do postaci:"
A jak powinienem rozdzeilić potem zmienne w
\(\displaystyle{ \frac{-2\sqrt{x}+u}{2x}=u'}\)?

[luka52]

Jest to równanie niejednorodne, a nie równanie o zmiennych rozdzielonych.

[TS]

moze i tak, ale w Krysickim w tym rozdziale to bylo