Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie zbiorem, otwartym, ograniczonym z brzegiem gładkim. Zdefiniujmy sobie podzbiór przestrzeni Sobolewa \(\displaystyle{ H^{1}(\Omega):H^{1}{}'(\Omega)=\{f \in H^{1}\left(\Omega\right) : \int_{\Omega} f dx = 0\}}\). Wprowadźmy iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ H^{1}{}'(\Omega):\left(f,g\right)=\int_{\Omega}\nabla f \circ \nabla g dx}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ H^1{}'(\Omega)}\) z tym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta (przez \(\displaystyle{ \circ}\) rozumiem standardowy iloczyn skalarny wektorów).
Dowód, że norma pochodząca od tego iloczynu skalarnego jest istotnie normą jest proste. Problem mam z dowodem zupełności tej normy.
Zupełność podprzestrzeni Sobolewa
-
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dachnów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 13 razy
- PiotrowskiW
- Użytkownik
- Posty: 649
- Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wojkowice
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 67 razy
Zupełność podprzestrzeni Sobolewa
Zobacz w Evansie. A jak nie to w Gilbargu i Trudingerze.
przemyśl ten napis.Dowód, że norma pochodząca od tego iloczynu skalarnego jest istotnie normą
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Zupełność podprzestrzeni Sobolewa
Twoje pytanie jest zadane w dosyć niecodzienny sposób. Ze zrozumiałych względów jest to domknięta podprzestrzeń \(\displaystyle{ H^1}\), a więc jest zupełna w normie indukowanej. Wystarczy więc uzasadnić równoważność tych dwóch norm - o tym właśnie mówi nierówność Poincarego, do której Cię odesłano.