własności operatorów samosprzężonych

[aGabi94]

Jak pokazać,że \(\displaystyle{ (\alpha_{1}L_{1}+ \alpha_{2}L_{2})^*=\alpha_{1}L_{1}^*+\alpha_{2}L_{2}^*}\) skoro wiemy, że \(\displaystyle{ L_{1}, L_{2}}\) są samosprzężone czyli spełniają warunek \(\displaystyle{ L_{1}=L_{1}^*, L_{2}=L_{2}^*}\)?

[liu]

Musimy pokazać, że
\(\displaystyle{ ((\alpha_1 L_1 + \alpha_2 L_2)x | y ) = (x | (\alpha_1 L_1^{*} + \alpha_1 L_2^*)y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\).

Dalej to prosty rachunek korzystający z definicji iloczynu skalarnego i definicji operatora sprzężonego.