Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią unitarną nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) Udowownić, że jeżeli \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) jest normą w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) jest klasy\(\displaystyle{ C^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ 0\right\}}\) i
\(\displaystyle{ \|\cdot \|'' (x) (h_1 , h_2)=\frac{1}{\|x\|} (h_1 | h_2)-\frac{1}{\|x\|^3} (x | h_1)(x | h_2)}\)
Wiem, że norma jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x \neq 0}\) i
\(\displaystyle{ \|\cdot \|' (x) (h)=\frac{1}{\|x\|} (x | h)}\)
i funkcja \(\displaystyle{ (h_1,h_2) \to \frac{1}{\|x\|} (h_1 | h_2)-\frac{1}{\|x\|^3} (x | h_1)(x | h_2)}\) jest dwuliniowa i ciągła. Jak pokazać, że ta norma jest klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) i jak uzyskać wzór na drugą pochodna? Proszę o pomoc
Różniczkowalność sprawdziłam z definicji tzn
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)- f'(x)h}{\| h \|} =0}\) a teraz trzeba wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{|\frac{1}{\|x+h_2\|} (x+h_2 | h_1)-\frac{1}{\|x\|} (x | h_1)- \frac{1}{\|x\|} (h_1 | h_2)+\frac{1}{\|x\|^3} (x | h_1)(x | h_2)|}{\|h_2\|} \to 0}\) przy \(\displaystyle{ \|h_2\| \to 0}\) Jak to wykazać?