Udowodnij, że pierwiastek do kwadratu się redukuje

[fendur]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt[2]{a}\right) ^{2} = a}\)
Jak to udowodnić?
przyjęliśmy na zajęciach definicję pierwiastka:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{x} = b}\)
\(\displaystyle{ b=\sup\left( A\right)}\)
\(\displaystyle{ A = \left\{b \,| \, b ^{n} \le x \right\}}\)

Jestem na pierwszym roku, więc jestem zielony w takich dowodach. W liceum liczyliśmy deltę.
Nie wiem czy nie pomyliłem działów. Ale do innych działów ten temat nie pasował.

edit: zapomniałem dodać że \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ A=\left\{b\ {\red{|}}\black\ b^n\le x\right\}}\)

A co oznacza znak zaznaczony na czerwono?

[M Ciesielski]

"Takich, że"

[SlotaWoj]

@M Ciesielski
Dziękuje za wyjaśnienie, chociaż spodziewałem się go od autora wątku.
Kiedyś mnie uczono i, jak się orientuję, to nadal i to powszechnie do oznaczania frazy „takich że” jest używany znak „:” (dwukropek).

[matmatmm]

Musisz udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^n}\) jest ciągła. A potem, że funkcja ciągła ma własność Darboux. Stąd będzie wynikać, że dla każdego \(\displaystyle{ y\ge 0}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ x\ge0}\) taka, że \(\displaystyle{ x^2=y}\). A dalej to już łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x}\) musi być kresem górnym twojego zbioru.

Można też atakować to zadanie bezpośrednio, bo dowód, że funkcja ciągła ma własność Darboux przebiega mniej więcej tak: Niech \(\displaystyle{ f(a)<y_0<f(b)}\) (w przypadku \(\displaystyle{ f(a)>y_0>f(b)}\) dowód jest podobny). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A=\{x\in [a,b]: f(x)<y_0\}}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ x_0:=\sup A}\). I teraz pokazuje się, że \(\displaystyle{ f(x_0)=y_0}\). A robi się to przez dojście do sprzeczności w przypadku \(\displaystyle{ f(x_0)<y_0}\) lub \(\displaystyle{ f(x_0)>y_0}\).

Edit. Poprawa wiadomości. Nie wiem czemu założyłem, że trzeba pokazać tylko, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}^2=2}\).

PS. Temat pasuje do działu Granica i ciągłość funkcji.

[liu]

@M Ciesielski
Dziękuje za wyjaśnienie, chociaż spodziewałem się go od autora wątku.
Kiedyś mnie uczono i, jak się orientuję, to nadal i to powszechnie do oznaczania frazy „takich że” jest używany znak „:” (dwukropek).

Używa się powszechnie obydwu wersji, kwestia gustu (\(\displaystyle{ |}\) ma tę zaletę w piśmie odręczno-tablicowym, że lepiej go widać niż dwie kropki), chociaż w literaturze matematycznej coraz rzadziej widać dwukropek. Co gorsza, powszechnie pisze się np. \(\displaystyle{ C = \{ f(X, Y) = 0\}}\) mając na myśli \(\displaystyle{ \{(X,Y): f(X, Y)=0\}}\). Z drugiej strony kiedyś spotykało się zapis \(\displaystyle{ X = \{x\}}\) mając na myśli, że elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\) będziemy oznaczali przez \(\displaystyle{ x}\) (np. w starych rosyjskich podręcznikach typu Fichtenholz), a teraz praktycznie każdy powie odruchowo, że \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem jednoelementowym. Notacja ewoluuje, jak język.