przestrzeń sprzężona

[Dzardza]

takie pytanko:
Niech \(\displaystyle{ X := C([0,1];\RR)}\) jest przestrzenią z norma supremum. Na \(\displaystyle{ X}\) określamy funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) wzorem:


\(\displaystyle{ \forall x\in X \qquad f(x) = \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{t ^{2}+1 } dt}\)

Czy \(\displaystyle{ f}\) jest liniowy i ograniczony ?? czemu ??

Niech \(\displaystyle{ Y :=L^{ \frac{5}{3} } ([0,1];\RR)}\) ze zwykła norma. Jak wygląda przestrzeń druga sprzężona z \(\displaystyle{ Y}\) ?? Z czego to wynika ?? Jaki stad wniosek ??

[szw1710]

1. Naech \(\displaystyle{ f_n(x)=n}\). Co stąd wynika? Sama liniowość jest trywialna.

2. A co jest przestrzenią sprzężoną do \(\displaystyle{ L^p}\)? Kiedy przestrzeń Banacha jest refleksywna?

[Dzardza]

chyba za głupi na to jestem... wiem że odpowiedzi są oczywiste ale nie ogarniam...

1. no w sumie racja - jak całka daje konkretną wartość to musi być ograniczony... słyszałem już że liniowość jest trywialna ale jakoś tego nie widzę... bo chyba nie trzeba tego z definicji udowadniać...

2. nom chyba \(\displaystyle{ L ^{q}}\) zakładając że \(\displaystyle{ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1}\) ale to pierwsza sprzężona, a 2ga ?? Banacha jest refleksywna kiedy jej pierwsza sprzężona jest refleksywna... czyli co?? że \(\displaystyle{ Y = Y ^{**}}\) tak po prostu i od razu wiemy że refleksywna czyli zanurzenie kanoniczne jest suriekcją

[szw1710]

1. daję Ci przykład na coś przeciwnego. Liniowość sprawdzasz właśnie z definicji i to najtrywialniejsza rzecz pod słońcem.

[Spektralny]

2. A co jest przestrzenią sprzężoną do \(\displaystyle{ L^p}\)? Kiedy przestrzeń Banacha jest refleksywna?

Przestrzeń \(\displaystyle{ L_p}\) jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p\in (1,\infty)}\). Wynika to dość łatwo z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów na tych przestrzeniach. By zobaczyć, że \(\displaystyle{ L_1}\) nie jest refleksywna zauważ, że jest ona ośrodkowa, ale przestrzeń nieośrodkowa \(\displaystyle{ L_\infty}\) jest doń sprzężona, więc \(\displaystyle{ L_1^{**}}\) też jest nieośrodkowa, czyli nie może być izomorficzna z \(\displaystyle{ L_1}\).

Przestrzeń \(\displaystyle{ L_\infty}\) nie jest refleksywna bo łatwo znaleźć w niej podprzestrzeń \(\displaystyle{ Y}\) izometryczną z \(\displaystyle{ c_0}\), a ta nie jest refleksywna. Istotnie, rozważ ciąg parami rozłącznych zbiorów miary dodatniej \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^\infty}\) w \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz weź

• \(\displaystyle{ Y = \overline{{\rm span}}\{\mathbf{1}_{A_n}\colon n\in \mathbb{N}\}.}\)

[Dzardza]

no liniowość to fakt banał ale ograniczoność to mnie nie przekonuje bo zobacz
udowodnijmy że \(\displaystyle{ \forall x\in X \qquad \left| f(x)\right | \le M \parallel x \parallel}\)

\(\displaystyle{ \left| f(x)\right| = \left| \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{t^{2}+1} \right| dt \le \int_{0}^{1} \left| \frac{x(t)}{t^{2}+1} \right|dt= \int_{0}^{1} \frac{\left| x(t) \right|}{t^{2}+1} dt \le \\ \\ \sup\{ \left| x(t) \right| : t \in \left[ 0,1 \right] \} \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = M \cdot \sup\{ \left| x(t) \right| : t \in \left[ 0,1 \right] \} = M \cdot \| x \|_{X}}\)

[szw1710]

Dobrze. Oczywiście \(\displaystyle{ M=\frac{\pi}{4}}\). Biorąc teraz \(\displaystyle{ x(t)=1}\) mamy, że \(\displaystyle{ \|f\|=\frac{\pi}{4}.}\)