Czy wektor należy do przestrzeni

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: myszka666 » 17 kwie 2015, o 23:12

Mam dwa problemy:

1) Niech \(\displaystyle{ y=(y_{1}, y_{2}, y_{3},...)\in c_{0}}\). Czy \(\displaystyle{ x=(y_{1}, 2y_{2}, 3y_{3},...)\in l^{ \infty }}\)?

2) Niech \(\displaystyle{ y=(y_{1}, y_{2}, y_{3},...)\in l^{ 1 }}\). Sprawdzić czy istnieje \(\displaystyle{ x=(x_{1}, x_{2}, x_{3},...)\in l^{1}}\) taki, że \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4},...)=(y_{1}, y_{2}, y_{3},...)}\).
Zapisałam wektor \(\displaystyle{ x}\) w postaci \(\displaystyle{ x=(x_{1}, y_{1}-x_{1}, y_{2}-y_{1}+x_{1}, y_{3}-y_{2}+y_{1}-x_{1},...)}\). Sprawdzamy czy należy on do \(\displaystyle{ l_{1}}\), zatem czy \(\displaystyle{ |x_{1}|+|y_{1}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}+x_{1}|+|y_{3}-y_{2}+y_{1}-x_{1}|+...< \infty}\). I tutaj nie wiem czy ta nierówność jest spełniona...

ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: ZF+GCH » 18 kwie 2015, o 09:20

1) Oczywiście, że nie. Przecież, gdy \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ b_n \rightarrow \infty}\), to \(\displaystyle{ a_nb_n}\) może zbiegać do czegokolwiek nieujemnego.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16764
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2824 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: a4karo » 18 kwie 2015, o 09:40

ZF+GCH pisze:1) Oczywiście, że nie. Przecież, gdy \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ b_n \rightarrow \infty}\), to \(\displaystyle{ a_nb_n}\) może zbiegać do czegokolwiek nieujemnego.
Wskazówka mocno nieprecyzyjne. Jeżeli bowiem \(\displaystyle{ a_nb_n}\) zbiega, to ten ciąg nalezy do \(\displaystyle{ l^\infty}\), bo w oczywisty sposób jest ograniczony.

Musisz znaleźć ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) , który jest zbieżny do zera, ale taki, że \(\displaystyle{ na_n}\) nie jest ograniczony. To nie jest trudne.

myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: myszka666 » 18 kwie 2015, o 11:28

Jeżeli wezmę \(\displaystyle{ y=(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , \frac{1}{4},...)}\) to będzie dobrze?

ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: ZF+GCH » 18 kwie 2015, o 11:35

Oczywiście chodziło mi o możliwość rozbiegania tego iloczynu do niesk.

Nie, bo dostaniesz w iloczynie ciąg stale równy \(\displaystyle{ 1}\). Ale jak dołożysz pierwiastki w mianownikach, to będzie dobrze.

myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: myszka666 » 18 kwie 2015, o 11:43

A no tak. Dzięki. A w 2) można znaleźć jakiś przykład, dla którego nierówność nie będzie spełniona?

ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Czy wektor należy do przestrzeni

Post autor: ZF+GCH » 18 kwie 2015, o 13:16

W 2) rozważ \(\displaystyle{ y=(\frac{1}{2^{n}})}\) (liczmy od \(\displaystyle{ n=1}\)). Z tego co napisałaś widać, że cały \(\displaystyle{ x}\) zależy tylko od \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ y}\). Załóżmy że odpowiedni \(\displaystyle{ x}\) istnieje. Skorzystamy z nierówności \(\displaystyle{ |a-b| \geq ||a|-|b||}\), która rozszerza się na dowolną ilość liczb, tj. \(\displaystyle{ |a_1-a_2-..-a_n| \geq ||a_1|-|a_2|-..-|a_n||}\). Zakładamy, że (%) \(\displaystyle{ x=(x_{1}, y_{1}-x_{1}, y_{2}-y_{1}+x_{1}, y_{3}-y_{2}+y_{1}-x_{1},...)}\) oraz
\(\displaystyle{ A:=|x_{1}|+|y_{1}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}+x_{1}|+|y_{3}-y_{2}+y_{1}-x_{1}|+...< \infty}\). Z przytoczonej przeze mnie nierówności wynika, że (*) \(\displaystyle{ A \geq \sum_{n=3}^{\infty} |\frac{1}{4}-x_1|}\) (pomijam pierwsze dwa wyrazy, gdyż od trzeciego zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |x_n| \geq |\frac{1}{4}-x_1|}\)) (Przelicz również, że każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ z=(y_1,y_2-y_1,y_3-y_2+y_1,...)}\) ma wyrazy co do modułów niemniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)). Z nierówności (*) wynika, że dla \(\displaystyle{ x_1 \neq \frac{1}{4}}\) dostajemy sprzeczność, bo szereg liczbowy o wyrazach dodatnich stałych zbiega do nieskończoności. Zatem jedyny \(\displaystyle{ x}\), który może spełnić żądane wymagania spełnia \(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{4}}\). Musimy "ręcznie" to zbadać. Wstawiając \(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{4}}\) do wzoru (%) dostajemy, że ciąg \(\displaystyle{ x}\) ma wyrazy od pewnego (chyba od piątego) miejsca co do modułu niemniejsze od \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\). Oznacza to, że szereg\(\displaystyle{ A}\) jest rozbieżny, więc \(\displaystyle{ x \notin l_1}\).

ODPOWIEDZ