Matematyka.pl

Wyznaczyć normę operatora \(\displaystyle{ A}\), sprawdzić, czy \(\displaystyle{ A}\) spełnia warunki iniekcji, suriekcji oraz czy jest to operator otwarty:
a) \(\displaystyle{ A:(\mathbb{R}^{2},\parallel \cdot \parallel_{ \infty }) \rightarrow (\mathbb{R}^{3},\parallel \cdot \parallel_{ 2 })}\), \(\displaystyle{ A(x_{1},x_{2})=(x_{1}+2x_{2}, x_{1}-x_{2}, 3x_{1}+x_{2})}\)
b) \(\displaystyle{ A:(\mathbb{R}^{3},\parallel \cdot \parallel_{ 1}) \rightarrow (\mathbb{R}^{2},\parallel \cdot \parallel_{ \infty })}\), \(\displaystyle{ A(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}+x_{2}, x_{1}+x_{3})}\)
c) \(\displaystyle{ A:c \rightarrow l^{ \infty }}\), \(\displaystyle{ A(x_{1}, x_{2}, x_{3},...)=(x_{1}, \frac{3}{2}x_{2}, \frac{5}{3}x_{3},..., \frac{2n-1}{n}x_{n},...)}\)
d) \(\displaystyle{ A:l^{ \infty } \rightarrow c_{0}}\), \(\displaystyle{ A(x_{1}, x_{2}, x_{3},...)=(x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3},...)}\).

W czym problem? Kiedy operator liniowy jest injekcją/surjekcją?

Problem nie w definicji. To po kolei.
a) Zaczęłam liczyć normę, doszłam do momentu \(\displaystyle{ \parallel A(x_{1},x_{2}) \parallel =\sqrt{11x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}}}\) i nie wiem co dalej. Iniekcja: tak. Suriekcja: sprawdzamy czy dla \(\displaystyle{ y=(y_{1},y_{2},y_{3})\in \mathbb{R}^{3}}\) istnieje \(\displaystyle{ x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2}}\) taki, że \(\displaystyle{ Tx=y}\). Mam trzy równania: \(\displaystyle{ x_{1}+2x_{2}=y_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{1}-x_{2}=y_{2}}\), \(\displaystyle{ 3x_{1}+x_{2}=y_{3}}\). Jak będzie wyglądał \(\displaystyle{ x}\)?

b) \(\displaystyle{ \parallel A \parallel =1}\). Iniekcja: czy z tego, że \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{3})=(x_{1}'+x_{2}',x_{1}'+x_{3}')}\) wynika \(\displaystyle{ x_{1}=x_{1}'}\), \(\displaystyle{ x_{2}=x_{2}'}\), \(\displaystyle{ x_{3}=x_{3}'}\)? Suriekcja: tak.

c) Czy \(\displaystyle{ \parallel A \parallel =2}\)? Iniekcja:tak. Suriekcja: z definicji wyznaczyłam \(\displaystyle{ x=(y_{1}, \frac{2}{3}y_{2}, \frac{3}{5}y_{3}, ..., \frac{n}{2n-1}y_{n},...)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in c}\) i jest to suriekcja?

d) \(\displaystyle{ \parallel A \parallel =1}\). Iniekcja: tak. Suriekcja: z def. mam wektor \(\displaystyle{ x=(y_{1}, 2y_{2}, 3y_{3})}\). Czy \(\displaystyle{ x\in l^{ \infty }}\)?

Proszę o sprawdzenie...