Strona 1 z 1
Izomorfizm przestrzeni
: 19 mar 2015, o 23:31
autor: nowyyyy4
Jak udowodnić, że przestrzenie \(\displaystyle{ \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,p} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,q} \right)}\) są izomorficzne
\(\displaystyle{ \mathbb{K} \in \left\{ \mathbb{R} , \mathbb{C}\right\}}\)
a \(\displaystyle{ ||a||_{N,p} = \left( \sum_{n=1}^{N} |a_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}}\)
Nie wiem jakim wzorem zadać ten izomrofizm
Izomorfizm przestrzeni
: 19 mar 2015, o 23:39
autor: Kartezjusz
Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?
Izomorfizm przestrzeni
: 22 mar 2015, o 21:49
autor: Spektralny
Kartezjusz pisze:Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?
Serio chcesz tutaj używać twierdzenia Riesza? Jeśli tak, to jak?
Niech
\(\displaystyle{ 1\leqslant p<q\leqslant \infty.}\) Wówczas
\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}\geqslant \|x\|_{N,q}.}\)
Potrzebujemy teraz takiej stałej
\(\displaystyle{ \delta>0}\), że
\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}\leqslant \delta\|x\|_{N,q}.}\)
Oznaczmy przez
\(\displaystyle{ r}\) wykładnik sprzężony do
\(\displaystyle{ q/p}\). Zastosujmy teraz nierówność Höldera z wykładnikiem
\(\displaystyle{ q/p}\) do
\(\displaystyle{ u=(|x_1|^p, \ldots, |x_N|^{p})}\) i
\(\displaystyle{ v=(1,\ldots, 1)}\). Mamy
\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}^p = \|uv\|_{N, 1} \leqslant \Big(\sum_{k=1}^N |x_k|^q\Big)^{p/q} \cdot N^{1/r}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p} \leqslant \|x\|_{N,q} \cdot N^{1/{pr}}}\).
Stała
\(\displaystyle{ N^{1/{pr}}}\), którą tutaj otrzymaliśmy jest optymalna.
Izomorfizm przestrzeni
: 23 mar 2015, o 17:43
autor: nowyyyy4
A z jakiego twierdzenia wynika, że równoważność norm pociąga, że przestrzenie są izomorficzne?
Izomorfizm przestrzeni
: 23 mar 2015, o 18:51
autor: Spektralny
Wynika to z faktu, że te same ciągi są zbieżne do 0. W zasadzie to wynika to z twierdzenia o trzech ciągach zatem.