operator liniowy ograniczony i jego norma

[anetaaneta1]

Pokazać, że następujące operatory liniowe są ograniczone i wyznaczyć ich normy:
a) \(\displaystyle{ A:C\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \CCC}\) , \(\displaystyle{ Af= \int_{0}^{1} f\left( x\right) dx}\)
b) \(\displaystyle{ A:C\left( \left[ -1,1\right] \right) \rightarrow C\left( \left[ 0,1\right] \right)}\) , \(\displaystyle{ \left( Af\right)\left( x\right)= f\left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)

[PiotrowskiW]

a)
\(\displaystyle{ Af= \int_{0}^{1} f\left( x\right) dx \le 1 \cdot max\left\{ f(x): x \in \left[ 0,1\right]\right\}}\)
To jest jakaś stała, gdyż funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje kresy. (tw. Weierstrassa)

[bartek118]

a)
\(\displaystyle{ Af= \int_{0}^{1} f\left( x\right) dx \le 1 \cdot max\left\{ f(x): x \in \left[ 0,1\right]\right\}}\)
To jest jakaś stała, gdyż funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje kresy. (tw. Weierstrassa)

Trzeba jeszcze wskazać funkcję, dla której mamy równość, wówczas mamy policzoną normę.