norma, seminorma przestrzenie Banacha

[anetaaneta1]

Sprawdzić, które z określonych poniżej funkcji \(\displaystyle{ N _{i}: \RR ^{n} \rightarrow \RR}\) są seminormami a które normami w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x=\left( x _{1},x _{2},..., x _{n} \right)}\)

a) \(\displaystyle{ N _{1}\left( x\right)= \left| x _{1}+x _{2}+...+x _{n} \right| ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ N _{2}\left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }}\)
c) \(\displaystyle{ N _{3}\left( x\right)= \left( \sum_{k=2}^{n} \left| x _{k} - x _{k-1} \right| ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }}\)

i wychodzi mi że żadne nie są normami ani seminromami
nie jest spełniony warunek
\(\displaystyle{ P\left( x+y\right) = P\left( x\right) +P\left( y\right)}\)
tak ma wychodzić czy ja coś pokręciłam ?

[szw1710]

Masz mieć nierówność trójkąta, czyli \(\displaystyle{ P(x+y)\le P(x)+P(y)}\). Seminorma różni się od normy jedynie tym, że \(\displaystyle{ P(0)=0}\), ale w drugą stronę niekoniecznie, może mieć więcej miejsc zerowych. W szczególności, funkcja stale równa zero jest seminormą.

[anetaaneta1]

yhy no tak miałam błąd w notatkach, a mógłbyś mi rozpisać ten warunek nierówności trójkąta dla pierwszego podpunktu bo mi nie wychodzi

[szw1710]

\(\displaystyle{ N_1}\) nie spełnia warunku \(\displaystyle{ N_1(\alpha x)=|\alpha|N_1(x)}\).

Dobrej nocy.

[anetaaneta1]

No tak nie pełni to mam ale chciałam sobie rozpisać warunek na nierówność trójkąta.
a \(\displaystyle{ N _{2}}\) jest normą
a \(\displaystyle{ N _{3}}\) jest semi normą

tylko mam problem z tym warunkiem na neirówność trójkąta-- 7 sty 2015, o 21:03 --chodzi mi o to czy w tym pierwszym przykładzie mogę skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ \left| x+y\right| ^{2} \le \left| x\right| ^{2}+\left| y\right| ^{2}}\)
a w drugim przykładzie z nierówności \(\displaystyle{ \left( x+y\right) ^{ \frac{1}{2} } \le x ^{ \frac{1}{2} }+y ^{ \frac{1}{2} }}\)
to nierówności są prawdziwe ?

[bartek118]

a \(\displaystyle{ N _{2}}\) jest normą

\(\displaystyle{ N_2}\) nie jest seminormą, więc jak może być normą?

[anetaaneta1]

a czemu \(\displaystyle{ N _{2}}\) nie jest seminormą ?

[bartek118]

Nie spełnia drugiego warunku.

[anetaaneta1]

tego \(\displaystyle{ N _{2}\left( \alpha x\right) = \left| \alpha \right| N _{2}\left( x\right)}\) ?
Mi wychodzi że spełnia ten warunek ?

podasz mi jakiś kontrprzykład ?

[bartek118]

Pokaż jak to policzyłaś.

[anetaaneta1]

sorry tam jest mój błąd teraz zauważyłam powinno być
\(\displaystyle{ N _{2}\left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }}\)

I wtedy warunek zachodzi.
Mam tylko problem z tym pierwszym warunkiem na nierówność trójkąta

[bartek118]

Teraz drugi warunek jest OK.

Nierówność, którą podałaś wcześniej z pierwiastkami jest prawdziwa dla liczb nieujemnych.

[anetaaneta1]

czyli mogę z niej skorzystać bo mam kwadraty ?

A jak rozpisać nierówność trójkąta dla przykładu c) ?

[martamarta1]

Mogę ten warunek z nierównością dla przykłądu drugiego tak rozpisać ?

\(\displaystyle{ \left( \left( x _{1}+y _{1} \right) ^{2}+ 2\left( x _{2}+y _{2} \right) ^{2}+ ... +n \left( x _{n}+y _{n} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left(x _{1} ^{2}+ 2x _{1}y _{1}+y _{1} ^{2}+... + nx _{n} ^{2}+ 2nx _{n}y _{n}+y _{n} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \le \left(x _{1} ^{2}+... + n x _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} } + \left(y _{1} ^{2}+... + n y _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} }}\)

[bartek118]

Niestety, u Ciebie np \(\displaystyle{ 2x_1 x_2}\) nie musi być dodatnie, abyś mogła zastosować tę nierówność.