przestrzeń Banacha norma

[anetaaneta1]

Znaleźć normy elementów \(\displaystyle{ x}\) w przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\), gdy:
a) \(\displaystyle{ X= c}\) , \(\displaystyle{ x=\left( x _{1}, x _{2},... \right)}\) , \(\displaystyle{ x _{n}= \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}}\) , \(\displaystyle{ n \in N}\)
b) \(\displaystyle{ X= L _{1} \left( \left[ - \pi , \pi \right] \right)}\) , \(\displaystyle{ x\left( t\right)= \sin t}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ - \pi , \pi \right]}\)

[lukasz1804]

Jakimi wzorami wyrażają się normy w danych przestrzeniach?

[anetaaneta1]

Właśnie nie za bardzo wiem.

[lukasz1804]

a) \(\displaystyle{ \sup_{n\in\NN}x_n}\)

b) \(\displaystyle{ \int_{-\pi}^\pi |x(t)|\dd t}\)

[Spektralny]

Właśnie nie za bardzo wiem.

Powinnaś to wiedzieć (sprawdzić) przed zadaniem pytania.

[anetaaneta1]

z podpunktu b) wyszło mi \(\displaystyle{ 4}\)

ale jak policzyć \(\displaystyle{ \sup_{n\in\NN} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}}\)

[lukasz1804]

Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) oraz jej związek z granicą i spróbuj na tej podstawie wyznaczyć wartość kresu górnego.

[anetaaneta1]

kresem będzie \(\displaystyle{ e}\) ?
granice mam \(\displaystyle{ e}\)
ale nie wychodzi mi monotoniczność

[lukasz1804]

Tak, kresem jest \(\displaystyle{ e}\).

[anetaaneta1]

a jak zbadać monotoniczność ?
Bo nie mogę tego symbolicznie

[miodzio1988]

Monotoniczność znajdziesz w dowodzie na istnienie granicy \(\displaystyle{ e}\)

[anetaaneta1]

Mam jeszcze taki przykład \(\displaystyle{ X=l _{1}}\) , \(\displaystyle{ x=\left( x _{1}, x _{2},... \right)}\) , \(\displaystyle{ x _{n}= \frac{1}{2 ^{n-1} }}\), \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

i nie wiem jakim wzorem określona jest tutaj norma ?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \sum_{n\in\NN}|x_n|}\)

[anetaaneta1]

a jak wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}^{} \left| \frac{1}{2 ^{n-1} } \right|}\) ?

[lukasz1804]

Szereg o wyrazach dodatnich - wartość bezwzględną można pominąć. Jest to szereg geometryczny o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ 1}\) i ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).