Otwartość, domkniętość zbioru

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: myszka666 »

Sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, domknięty w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), jeśli:
\(\displaystyle{ X=l^1, A=\{(x_{1}, x_{2},\ldots)\in l^1 :\exists_{n\in\NN}\ x_{n}=1\}}\).
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 12:20 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 »

Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.

Wskazówka: \(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, \dots)}\), \(\displaystyle{ (0, 1, 0, 0, \dots)}\), itd. należą do \(\displaystyle{ A}\).
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: yorgin »

Medea 2 pisze:Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.
Czy nie pomyliło Ci się tutaj coś ze zwartością? Wypisany przez Ciebie przykład ma to do siebie, że jest ciągiem elementów domkniętej kuli, który nie jest ciągiem zbieżnym.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 »

Opierałam się na tej definicji:
Wikipedia pisze:In a topological space, a closed set can be defined as a set which contains all its limit points.
Jest niepoprawna czy ja jej źle użyłam?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: yorgin »

Jest poprawna, ale chyba źle zrozumiana.

Charakteryzacja ciągowa zapisana symbolicznie wygląda tak:

\(\displaystyle{ A=\overline{A}\iff \left( \forall_{(x_n)\in A^\NN}: \left( x_n\xrightarrow{n\to+\infty} x \Rightarrow x\in A \right) \right)}\)
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 »

Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 15:45 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (nieskompilowane tagi).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Premislav »

Ale ciąg taki, jak podany przez Ciebie, nie jest Cauchy'ego w \(\displaystyle{ l^{1}}\), więc nie jest zbieżny.
Zresztą sprawdź z definicji normy w \(\displaystyle{ l^{1}}\), że granicą podanego ciągu nie jest wektor zerowy.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Spektralny »

Medea 2 pisze:Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Niestety nie, granica w normie nie istnieje gdyż \(\displaystyle{ \|e_n - 0\|=1\not\to 0.}\)

Pokażemy najpierw, że ten zbiór nie jest otwarty. Załóżmy, że jest. Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ r>0}\), że

\(\displaystyle{ B(e_1, r)\subset A}\) czyli, gdy \(\displaystyle{ \|x-e_1\|<r}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\). To oczywiście jest non-sens, bo

\(\displaystyle{ \|e_1 - (1-\tfrac{r}{2})e_1\| = \tfrac{r}{2}\|e_1\| = \tfrac{r}{2}<r}\)

ale \(\displaystyle{ (1-\tfrac{r}{2})e_1\notin A}\).
ODPOWIEDZ