Otwartość, domkniętość zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pkr
- Podziękował: 35 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, domknięty w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), jeśli:
\(\displaystyle{ X=l^1, A=\{(x_{1}, x_{2},\ldots)\in l^1 :\exists_{n\in\NN}\ x_{n}=1\}}\).
\(\displaystyle{ X=l^1, A=\{(x_{1}, x_{2},\ldots)\in l^1 :\exists_{n\in\NN}\ x_{n}=1\}}\).
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 12:20 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Poprawa wiadomości.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.
Wskazówka: \(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, \dots)}\), \(\displaystyle{ (0, 1, 0, 0, \dots)}\), itd. należą do \(\displaystyle{ A}\).
Wskazówka: \(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, \dots)}\), \(\displaystyle{ (0, 1, 0, 0, \dots)}\), itd. należą do \(\displaystyle{ A}\).
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Czy nie pomyliło Ci się tutaj coś ze zwartością? Wypisany przez Ciebie przykład ma to do siebie, że jest ciągiem elementów domkniętej kuli, który nie jest ciągiem zbieżnym.Medea 2 pisze:Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Opierałam się na tej definicji:
Jest niepoprawna czy ja jej źle użyłam?Wikipedia pisze:In a topological space, a closed set can be defined as a set which contains all its limit points.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Jest poprawna, ale chyba źle zrozumiana.
Charakteryzacja ciągowa zapisana symbolicznie wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\overline{A}\iff \left( \forall_{(x_n)\in A^\NN}: \left( x_n\xrightarrow{n\to+\infty} x \Rightarrow x\in A \right) \right)}\)
Charakteryzacja ciągowa zapisana symbolicznie wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\overline{A}\iff \left( \forall_{(x_n)\in A^\NN}: \left( x_n\xrightarrow{n\to+\infty} x \Rightarrow x\in A \right) \right)}\)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 15:45 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (nieskompilowane tagi).
Powód: Poprawa wiadomości (nieskompilowane tagi).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Ale ciąg taki, jak podany przez Ciebie, nie jest Cauchy'ego w \(\displaystyle{ l^{1}}\), więc nie jest zbieżny.
Zresztą sprawdź z definicji normy w \(\displaystyle{ l^{1}}\), że granicą podanego ciągu nie jest wektor zerowy.
Zresztą sprawdź z definicji normy w \(\displaystyle{ l^{1}}\), że granicą podanego ciągu nie jest wektor zerowy.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Otwartość, domkniętość zbioru
Niestety nie, granica w normie nie istnieje gdyż \(\displaystyle{ \|e_n - 0\|=1\not\to 0.}\)Medea 2 pisze:Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Pokażemy najpierw, że ten zbiór nie jest otwarty. Załóżmy, że jest. Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ r>0}\), że
\(\displaystyle{ B(e_1, r)\subset A}\) czyli, gdy \(\displaystyle{ \|x-e_1\|<r}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\). To oczywiście jest non-sens, bo
\(\displaystyle{ \|e_1 - (1-\tfrac{r}{2})e_1\| = \tfrac{r}{2}\|e_1\| = \tfrac{r}{2}<r}\)
ale \(\displaystyle{ (1-\tfrac{r}{2})e_1\notin A}\).