Matematyka.pl

Sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, domknięty w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), jeśli:
\(\displaystyle{ X=l^1, A=\{(x_{1}, x_{2},\ldots)\in l^1 :\exists_{n\in\NN}\ x_{n}=1\}}\).

Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.

Wskazówka: \(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, \dots)}\), \(\displaystyle{ (0, 1, 0, 0, \dots)}\), itd. należą do \(\displaystyle{ A}\).

Medea 2 pisze:Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.

Czy nie pomyliło Ci się tutaj coś ze zwartością? Wypisany przez Ciebie przykład ma to do siebie, że jest ciągiem elementów domkniętej kuli, który nie jest ciągiem zbieżnym.

Opierałam się na tej definicji:

Wikipedia pisze:In a topological space, a closed set can be defined as a set which contains all its limit points.

Jest niepoprawna czy ja jej źle użyłam?

Jest poprawna, ale chyba źle zrozumiana.

Charakteryzacja ciągowa zapisana symbolicznie wygląda tak:

\(\displaystyle{ A=\overline{A}\iff \left( \forall_{(x_n)\in A^\NN}: \left( x_n\xrightarrow{n\to+\infty} x \Rightarrow x\in A \right) \right)}\)

Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?

Ale ciąg taki, jak podany przez Ciebie, nie jest Cauchy'ego w \(\displaystyle{ l^{1}}\), więc nie jest zbieżny.
Zresztą sprawdź z definicji normy w \(\displaystyle{ l^{1}}\), że granicą podanego ciągu nie jest wektor zerowy.

Medea 2 pisze:Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?

Niestety nie, granica w normie nie istnieje gdyż \(\displaystyle{ \|e_n - 0\|=1\not\to 0.}\)

Pokażemy najpierw, że ten zbiór nie jest otwarty. Załóżmy, że jest. Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ r>0}\), że

\(\displaystyle{ B(e_1, r)\subset A}\) czyli, gdy \(\displaystyle{ \|x-e_1\|<r}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\). To oczywiście jest non-sens, bo

\(\displaystyle{ \|e_1 - (1-\tfrac{r}{2})e_1\| = \tfrac{r}{2}\|e_1\| = \tfrac{r}{2}<r}\)

ale \(\displaystyle{ (1-\tfrac{r}{2})e_1\notin A}\).