Otwartość, domkniętość zbioru

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: myszka666 » 16 gru 2014, o 11:48

Sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, domknięty w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), jeśli:
\(\displaystyle{ X=l^1, A=\{(x_{1}, x_{2},\ldots)\in l^1 :\exists_{n\in\NN}\ x_{n}=1\}}\).
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 12:20 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 » 16 gru 2014, o 14:47

Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.

Wskazówka: \(\displaystyle{ (1, 0, 0, 0, \dots)}\), \(\displaystyle{ (0, 1, 0, 0, \dots)}\), itd. należą do \(\displaystyle{ A}\).

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: yorgin » 16 gru 2014, o 15:03

Medea 2 pisze:Skorzystaj z następującej charakteryzacji domkniętości zbioru: zbiór jest domknięty, gdy wszystkie ciągi jego elementów zbiegają do pewnego elementu tego zbioru.
Czy nie pomyliło Ci się tutaj coś ze zwartością? Wypisany przez Ciebie przykład ma to do siebie, że jest ciągiem elementów domkniętej kuli, który nie jest ciągiem zbieżnym.

Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 » 16 gru 2014, o 15:06

Opierałam się na tej definicji:
Wikipedia pisze:In a topological space, a closed set can be defined as a set which contains all its limit points.
Jest niepoprawna czy ja jej źle użyłam?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: yorgin » 16 gru 2014, o 15:10

Jest poprawna, ale chyba źle zrozumiana.

Charakteryzacja ciągowa zapisana symbolicznie wygląda tak:

\(\displaystyle{ A=\overline{A}\iff \left( \forall_{(x_n)\in A^\NN}: \left( x_n\xrightarrow{n\to+\infty} x \Rightarrow x\in A \right) \right)}\)

Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Medea 2 » 16 gru 2014, o 15:43

Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Ostatnio zmieniony 16 gru 2014, o 15:45 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości (nieskompilowane tagi).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14159
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4640 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Premislav » 16 gru 2014, o 15:46

Ale ciąg taki, jak podany przez Ciebie, nie jest Cauchy'ego w \(\displaystyle{ l^{1}}\), więc nie jest zbieżny.
Zresztą sprawdź z definicji normy w \(\displaystyle{ l^{1}}\), że granicą podanego ciągu nie jest wektor zerowy.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3960
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Otwartość, domkniętość zbioru

Post autor: Spektralny » 1 sty 2015, o 22:02

Medea 2 pisze:Chciałabym potem stwierdzić, że granicą jest ciąg stale równy zero, a ten nie należy do zbioru z zadania, więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest otwarty. Mogę?
Niestety nie, granica w normie nie istnieje gdyż \(\displaystyle{ \|e_n - 0\|=1\not\to 0.}\)

Pokażemy najpierw, że ten zbiór nie jest otwarty. Załóżmy, że jest. Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ r>0}\), że

\(\displaystyle{ B(e_1, r)\subset A}\) czyli, gdy \(\displaystyle{ \|x-e_1\|<r}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\). To oczywiście jest non-sens, bo

\(\displaystyle{ \|e_1 - (1-\tfrac{r}{2})e_1\| = \tfrac{r}{2}\|e_1\| = \tfrac{r}{2}<r}\)

ale \(\displaystyle{ (1-\tfrac{r}{2})e_1\notin A}\).

ODPOWIEDZ