Ograniczoność zbiorów

[myszka666]

Czy podane poniżej zbiory w przestrzeni \(\displaystyle{ l_{2}}\) są zbiorami ograniczonymi?
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x _{n}) \in l_{2}:\quad x_{1}= x_{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ B=\left\{ (x_{n}) \in l_{2}:\exists{n \ge 1 \forall{k \ge n }\quad x_{k}=0\right\}}\).

Wiem, że te zbiory nie są ograniczone ale nie potrafię podać konkretnych przykładów.

[szw1710]

Co do \(\displaystyle{ B}\) - oblicz normę wektora \(\displaystyle{ (x,0,0,\dots)}\). Jakie wartości może ona przyjmować? Co d \(\displaystyle{ A}\) - oblicz normę wektora \(\displaystyle{ (x,x,0,0,0,\dots)}\).

[myszka666]

Czyli co do zbioru \(\displaystyle{ A}\) norma będzie \(\displaystyle{ \sqrt{2}\left| x\right|}\), a w \(\displaystyle{ B}\) norma \(\displaystyle{ \left| x\right|}\)? I to wystarczy?

[szw1710]

Wyciągnij na tej podstawie jakieś wnioski. Przecież po coś Ci te wektory podałem. Co to znaczy, że zbiór jest ograniczony w przestrzeni metrycznej?

[myszka666]

Ograniczony, czyli istnieje przykładowo \(\displaystyle{ R>0}\), takie, że \(\displaystyle{ \left| \left| x\right| \right| \le R}\)...

[szw1710]

Jak się to ma do przykładów, które podałem?