Ortogonalność wersorów układu

[Heisenberg]

Obliczyć wektory jednostkowe wyrażone we współrzędnych kartezjańskich dla układu cylindrycznego (walcowego) oraz sferycznego. Wykazać ortogonalność tych wektorów. Określić skrętność (parzystość) układu.

[dr Wieslaw Zajiczek]

Dla walcowego korzystasz ze wzorów na zmianę współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{r}(\rho,\phi,z)=[\rho cos(\phi),\rho sin(\phi), z]}\) i z tego, że przy ustalonej parze nowych współrzędnych obiekt \(\displaystyle{ \vec{r}(\rho,\phi,z)}\) przedstawia krzywą odpowiadającą zmianie trzeciej współrzędnej. Dzięki temu, tak jak dla każdej krzywej regularnej, wektor styczny do krzywej znajdujemy, obliczając pochodną z wektora położenia po parametrze. A te wektory styczne są właśnie wektorami bazowymi. Czyli np. \(\displaystyle{ \vec{e}_1 = \frac{ \partial }{ \partial \rho}\vec{r}(\rho,\phi,z)}\). Tę pochodną cząstkową obliczasz na każdej współrzędnej osobno. Pozostałe wektory bazowe dostajesz, obliczając pochodne cząstkowe po zmiennych \(\displaystyle{ \phi, z}\). Gdybyś coś było niejasne, to pisz. Orientację ustalisz, np. badając znak wyznacznika macierzy przejścia do bazy krzywoliniowej z bazy kanonicznej zorientowanej dodatnio. Gdy wyznacznik jest dodatni, to orientacja jest dodatnia. Macierz przejścia tworzysz, ustawiając te wektory w kolumny.
Warto też zaznaczyć, że tak obliczane wektory bazowe nie są jednostkowe, w razie potrzeby można je unormować, dzieląc każdy z nich przez jego długość.
Dla układu sferycznego robisz to analogicznie.

[Heisenberg]

Ja to liczę tak:

Dla układu walcowego wektory bazowe:

\(\displaystyle{ \vec{e}_1 = \frac{ \partial }{ \partial \rho} \left[ \rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi), z\right]=\left[ \cos(\phi),\sin(\phi),0\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{e}_2 = \frac{ \partial }{ \partial \phi} \left[ \rho \cos(\phi), \rho \sin(\phi), z\right]=\left[ \rho \sin(\phi),-\rho \cos(\phi),0\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{e}_3 = \frac{ \partial }{ \partial z} \left[ \rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi), z\right]=\left[ 0,0,1\right]}\)

Wektory jednostkowe otrzymuję, jak napisałeś, dzieląc każdy z nich przez jego długość. Tak więc otrzymuję odpowiednio wersory:

\(\displaystyle{ \vec p ^{0}= \left[ \cos(\phi),\sin(\phi),0\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec \phi ^{0} = \left[ \sin(\phi), \cos(\phi),0\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec z ^{0}=\left[ 0,0,1\right]}\)

W taki sposób ?

[dr Wieslaw Zajiczek]

Sposób jest dobry, tylko masz błędy w znakach przy liczeniu pochodnych z funkcji trygonometrycznych po \(\displaystyle{ \phi}\)