wyznacz wektor

[Karolina93]

Niech \(\displaystyle{ H=l^{2}}\) i niech \(\displaystyle{ e_{n}}\)będzie standardową bazą ortonormalną w \(\displaystyle{ l^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ e_{k}= (0,0...1,0,0..)}\). Niech\(\displaystyle{ M=\left\{ ae_{1410}+be_{2002} a,b \in R \right\}}\)i niech \(\displaystyle{ f=\left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} ...\right) .}\)
Wyznacz wektor \(\displaystyle{ g \in M}\) taki, że \(\displaystyle{ (g|f)=0}\) oraz \(\displaystyle{ ||g||=1}\)

Rozw:
Niech \(\displaystyle{ g= ae_{1410}+be_{2002}}\). Wtedy z warunków zadania wynika , że
\(\displaystyle{ 0=(g|f)= \frac{a}{1410}+ \frac{b}{2002}}\) oraz \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\)
Rozw są np.liczby
\(\displaystyle{ a= \frac{1410}{ \sqrt{1410^{2}+2002^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ b=- \frac{2002}{ \sqrt{1410^{2}+2002^{2}} }}\)

Mam pytania odnośnie rozwiązania.

Wtedy z warunków zadania wynika , że
\(\displaystyle{ 0=(g|f)= \frac{a}{1410}+ \frac{b}{2002}}\) oraz \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\)

Skąd to się wzięło ?
Czy mógłby mi ktoś pomóc ze zrozumieniem tego rozw.?

[bartek118]

Pierwsza równość to ta, którą chcemy uzyskać, druga to definicja iloczynu skalarnego w \(\displaystyle{ \ell^2}\), \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) oznacza tylko tyle, że \(\displaystyle{ \|g\|=1}\).

[Karolina93]

Pierwsza równość to ta, którą chcemy uzyskać, druga to definicja iloczynu skalarnego w \(\displaystyle{ \ell^2}\), \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) oznacza tylko tyle, że \(\displaystyle{ \|g\|=1}\).

Dlaczego taką równość chcemy uzyskać ? O czym informuję nas ten ciąg \(\displaystyle{ f}\) ?

[bartek118]

Bo właśnie pierwsza równość to treść zadania?
Drugiego pytania nie rozumiem

[Karolina93]

Bo właśnie pierwsza równość to treść zadania?
Drugiego pytania nie rozumiem

dlaczego chcemy uzyskać taką równość ?\(\displaystyle{ 0=(g|f)= \frac{a}{1410}+ \frac{b}{2002}}\), a nie na przykład taką\(\displaystyle{ 0=(g|f)= 1410a+2002b}\)?

[bartek118]

Pierwsza równość to równość z zadania, a druga to definicja iloczynu skalarnego.

[Karolina93]

Nadal nie rozumiem skąd ta równość....

Definicja iloczynu skalarnego w\(\displaystyle{ l^{2}}\)jest taka:
\(\displaystyle{ \left( (a_{1},a_{2},....)|(b_{1},b_{2},...)\right) = \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}\overline{b_{n}}}\)

Mógłby ktoś pomóc z tym zadaniem ?

[bartek118]

Ma być tak: \(\displaystyle{ (g|f)=0}\). Zapis w końcu co oznacza po lewej ten iloczyn skalarny; policz go, na placach. A z prawej jest zero. Podstaw do tej definicji, którą zapisałaś to \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)...

[Karolina93]

Właśnie o to chodzi , że nie wiem jak policzyć ten iloczyn skalarny. Co oznacza ta kreska we wzorze nad \(\displaystyle{ b_{n}}\) ?

[bartek118]

Sprzężenie. U ciebie mamy do czynienia tylko z liczbami rzeczywistymi, więc można ją pominąć.

[Karolina93]

No ok, ale dalej to mnie nie przybliża do rozwiązania .
Mamy iloczyn skalarny \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\). \(\displaystyle{ f}\) to jest ciąg ,a co oznacza \(\displaystyle{ g}\) ?
\(\displaystyle{ g \in M}\)czyli, \(\displaystyle{ g}\) jest postaci \(\displaystyle{ ae_{1410}+be_{2002} .}\) Nie za bardzo wiem na jakiej zasadzie działa to baza ortonormalna....

[bartek118]

\(\displaystyle{ e_{k}= (0,0...1,0,0..)}\); zapisz sobie co znaczy \(\displaystyle{ ae_{1410}+be_{2002}}\).

[M Ciesielski]

Nie za bardzo wiem na jakiej zasadzie działa to baza ortonormalna....

Tak jak napisał bartek118, ta jedynka jest na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu, tzn

\(\displaystyle{ e_1 = (1,0,0,\ldots) \\ e_2 = (0,1,0,0,\ldots) \\ e_3 = (0,0,1,0,0,\ldots) \\ \vdots}\)

[Karolina93]

Dziękuję za pomoc do tej pory Panowie.
ok to zapisałam sobie

\(\displaystyle{ e_{1410}= (0,......0,1,0,....)}\) ( \(\displaystyle{ 1}\) na 1410 miejscu)
\(\displaystyle{ e_{2002}= (0,............0,1,0....)}\)(\(\displaystyle{ 1}\) na 2002 miejscu)

teraz mam:
\(\displaystyle{ ae_{1410}= (0,......0,a,0,....)}\) ( \(\displaystyle{ a}\) na 1410 miejscu)
\(\displaystyle{ be_{2002}= (0,............0,b,0....)}\)( \(\displaystyle{ b}\) na 2002 miejscu)

Czyli
\(\displaystyle{ \left( (a_{1},a_{2},....)|(b_{1},b_{2},...)\right) = (f|g)= \left( \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} ..\right) |\left( (0,0.....0,a,0,...0,b,0...)\right)\right)= \frac{a}{1410}+ \frac{b}{2002}}\)
Jest ok ?

A skąd się wzięło \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) ? To jest jak rozumiem norma \(\displaystyle{ g}\), ale jest jakiś wzór na taką normę ?

[bartek118]

Wzór na normę w przestrzeni Hilberta jest następujący:
\(\displaystyle{ \|g\| = \sqrt{(g|g)}}\)