operator sprzężony

[Aniusia010791]

Znaleźć operator sprzężony do
\(\displaystyle{ A:L _{2}\left[ -1,1\right] \rightarrow L _{2} \left[ -1,1\right], \\ (Ax)(t)=1 _{\left[ -1,0\right] } (t)x(t)+ \int_{0}^{1} t ^{3} s ^{2} x(s) ds}\)
Umiem tylko zacząć a potem się gubię i nie mam pojęcia co i jak scałkować.
\(\displaystyle{ \left\langle Ax,y\right\rangle =\left\langle 1 _{\left[ -1,0\right] } (t)x(t)+ \int_{0}^{1} t ^{3} s ^{2} x(s) ds \setminus y(t)\right\rangle}\) czyli
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \left( 1 _{\left[ -1,0\right] } (t)x(t)+ \int_{0}^{1} t ^{3} s ^{2} x(s) ds\right) y(t) dt}\)
Ktoś pomoże co dalej? zadania z operatorem z reguły opierały sie na zmianie kolejności całkowania, a tu chyba nie jest to potrzebne...

[metamatyk]

Może tak:
Operator powyższy jest sumą dwóch operatorów liniowych. Sprzężenie jest liniowe, więc wystarczy znaleźć sprzężenia poszczególnych składników.
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}1_{[-1,0]}(s)x(s)y(s)ds=\int_{-1}^{1}x(s)1_{[-1,0]}(s)y(s)ds}\)
Skąd już łatwo odczytać postać operatora sprzężonego.
Dalej
\(\displaystyle{ \int_{-1}{1}\int_{0}^{1}t^3s^2x(s)dsy(t)dt=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}t^3s^2x(s)dtds=
\int_{-1}^{1}x(s)1_{[0,1]}(s)s^2\int_{-1}^{1}t^3y(t)dtds}\)
Stąd mamy sprzężenie drugiej części operatora.