Lokalny warunek Lipschitza

[bartek118]

Hejka!
Mam problem z formalnym uzasadnieniem następującego faktu.
Niech \(\displaystyle{ n \geq 1}\), \(\displaystyle{ T > 0}\) i niech:
\(\displaystyle{ u \in C^1 (\RR^n, \RR) \\
b \in C^1 (\RR^{n+1}, \RR) \\
a \in C^1 (\RR^{n+1}, \RR^n) \\
\theta \in C^1 ( [0, T), \RR^n) \\
\psi \in C^1 ([0,T), \RR)}\)
Wówczas odwzorowanie \(\displaystyle{ f : [0,T) \times \RR\rightarrow \RR}\) zadane wzorem
\(\displaystyle{ f(t,x) = b\left(\theta(t), u\left( \theta(t)\right) +x\right) - \nabla u \left( \theta(t)\right) \cdot a \left( \theta(t), u\left( \theta (t)\right) + x\right)}\)
spełnia lokalny warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną (przez \(\displaystyle{ \cdot}\) oznaczyłem standardowy iloczyn skalarny na \(\displaystyle{ \RR^n}\)), tzn. dla każdego punktu \(\displaystyle{ (t_0, x_0) \in [0,T)\times \RR}\) istnieją zbiory \(\displaystyle{ U}\) otwarty w \(\displaystyle{ [0,T)}\) i \(\displaystyle{ V}\) otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\) takie, że:
1. \(\displaystyle{ U \subset \overline{U} \subset [0,T)}\), \(\displaystyle{ V \subset \overline{V} \subset \RR}\);
2. \(\displaystyle{ (t_0, x_0) \in U \times V}\);
3. istnieje \(\displaystyle{ L > 0}\) takie, że dla \(\displaystyle{ x,y \in V}\) i \(\displaystyle{ t \in U}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ |f(t,x)-f(t,y)| \leq L |x-y|}\).

[Kartezjusz]

Funkcje klasy \(\displaystyle{ C_{1}}\) spełniają lokalny warunek Lipshitza (sprawdzić)

[bartek118]

Tyle to ja wiem
Problem leży w gradiencie. \(\displaystyle{ u}\) jest \(\displaystyle{ C^1}\), więc \(\displaystyle{ \nabla u}\) jest ciągły, a ciągłość to ciut mniej niż lipschitzowość.

[Mogget]

Spróbuj skorzystać z liniowości iloczynu skalarnego ( nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

[bartek118]

OK, dobra, już widzę To faktycznie było proste