Witam. Do pokazania jest pewna własność, nad którą się zastanawiam, mianowicie:
jeżeli mamy ograniczony operator na przestrzeni Hilberta, \(\displaystyle{ A \in \mathcal B (H)}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || AA^{*}||= ||A^{*}A || = || A||^{2}}\)
zakładając, że wiemy, że
i)\(\displaystyle{ (A^*)^* = A}\)
ii) \(\displaystyle{ (AB)^* = B^* A^*}\)
Pierwszą równość pokazałem, pozostaje ta druga tj. \(\displaystyle{ ||AA^* || = || A||^{2}}\).
Mam pokazane, że \(\displaystyle{ || A ||^2 \leqslant || AA^*||}\) i nie jestem pewien jak to pchnąć dalej. Czy ogólnie prawdą jest, że jeśli mamy operatory ograniczone \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2}}\) oraz ich złożenie \(\displaystyle{ T_{1}T_{2}}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || T_{1}T_{2}|| \leqslant ||T_1|| \cdot || T_{2}||}\)?
Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki.
Pozdrawiam.
Złożenie operatorów, operatory sprzężone
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Złożenie operatorów, operatory sprzężone
Tak, jest prawdą.porucznik pisze:Czy ogólnie prawdą jest, że jeśli mamy operatory ograniczone \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2}}\) oraz ich złożenie \(\displaystyle{ T_{1}T_{2}}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || T_{1}T_{2}|| \leqslant ||T_1|| \cdot || T_{2}||}\)?
\(\displaystyle{ ||AA^*||\leq ||A|| ||A^*||=||A||^2}\).porucznik pisze: Mam pokazane, że \(\displaystyle{ || A ||^2 \leqslant || AA^*||}\) i nie jestem pewien jak to pchnąć dalej.
Wykorzystuje się to, że \(\displaystyle{ ||A||=||A^*||}\) co stosunkowo łatwo pokazać.
- porucznik
- Użytkownik
- Posty: 214
- Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 13 razy
Złożenie operatorów, operatory sprzężone
Tego właśnie nie byłem pewien, po chwili mnie olśniło i zapisałem tak:yorgin pisze: \(\displaystyle{ ||AA^*||\leq ||A|| ||A^*||}\).
\(\displaystyle{ ||T_1T_2(x)|| \leqslant ||T_1|| ||T_2(x)|| \leqslant ||T_1|| ||T_2|| ||x||}\)
biorąc supremum po \(\displaystyle{ \lbrace x: ||x|| \leqslant 1\rbrace}\), mamy co trzeba.
Dzięki!