Złożenie operatorów, operatory sprzężone

[porucznik]

Witam. Do pokazania jest pewna własność, nad którą się zastanawiam, mianowicie:

jeżeli mamy ograniczony operator na przestrzeni Hilberta, \(\displaystyle{ A \in \mathcal B (H)}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || AA^{*}||= ||A^{*}A || = || A||^{2}}\)

zakładając, że wiemy, że
i)\(\displaystyle{ (A^*)^* = A}\)
ii) \(\displaystyle{ (AB)^* = B^* A^*}\)

Pierwszą równość pokazałem, pozostaje ta druga tj. \(\displaystyle{ ||AA^* || = || A||^{2}}\).

Mam pokazane, że \(\displaystyle{ || A ||^2 \leqslant || AA^*||}\) i nie jestem pewien jak to pchnąć dalej. Czy ogólnie prawdą jest, że jeśli mamy operatory ograniczone \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2}}\) oraz ich złożenie \(\displaystyle{ T_{1}T_{2}}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || T_{1}T_{2}|| \leqslant ||T_1|| \cdot || T_{2}||}\)?

Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki.

Pozdrawiam.

[yorgin]

Czy ogólnie prawdą jest, że jeśli mamy operatory ograniczone \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2}}\) oraz ich złożenie \(\displaystyle{ T_{1}T_{2}}\), to zachodzi \(\displaystyle{ || T_{1}T_{2}|| \leqslant ||T_1|| \cdot || T_{2}||}\)?

Tak, jest prawdą.

Mam pokazane, że \(\displaystyle{ || A ||^2 \leqslant || AA^*||}\) i nie jestem pewien jak to pchnąć dalej.

\(\displaystyle{ ||AA^*||\leq ||A|| ||A^*||=||A||^2}\).

Wykorzystuje się to, że \(\displaystyle{ ||A||=||A^*||}\) co stosunkowo łatwo pokazać.

[porucznik]

\(\displaystyle{ ||AA^*||\leq ||A|| ||A^*||}\).

Tego właśnie nie byłem pewien, po chwili mnie olśniło i zapisałem tak:

\(\displaystyle{ ||T_1T_2(x)|| \leqslant ||T_1|| ||T_2(x)|| \leqslant ||T_1|| ||T_2|| ||x||}\)

biorąc supremum po \(\displaystyle{ \lbrace x: ||x|| \leqslant 1\rbrace}\), mamy co trzeba.

Dzięki!