miara na półpierścieniu

[natasza123]

Bardzo prosze o pomoc szukam dowodu, że wzór \(\displaystyle{ m([a,b)) =b-a}\) określa miarę na półpierścieniu przedziałów postaci
\(\displaystyle{ [a,b),a \le b,a,b \in \RR}\)(tu \(\displaystyle{ [a,a)=\emptyset}\)).

[bartek118]

Bezpośrednio z definicji miary to wynika - spróbuj przeprowadzić go sama.

[natasza123]

czyli wykazac cos takiego?
\(\displaystyle{ m(\emptyset)=0}\)
\(\displaystyle{ m( \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n )= \sum_{n=1}^{ \infty} m(A_n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ A_n \cap A_m=\emptyset)}\)
pierwszy warunek:
\(\displaystyle{ m(\emptyset)=m([a,a))=a-a=0}\)
z drugim mam problem

[bartek118]

Z czym konkretnie?

[natasza123]

nie wiem jak poprawnie zapisac

[bartek118]

Weź rozłączną rodzinę przedziałów takiej postaci. Najpierw - kiedy suma takich przedziałów będzie należała do tego półpierścienia?

[natasza123]

suma takich przedziałów to będzie suma różnica pomiędzy końcem z początkiem danego przedziału

[bartek118]

suma takich przedziałów to będzie suma różnica pomiędzy końcem a początkiem danego przedziału

Nie rozumiem Twojej wypowiedzi.

[natasza123]

literówka zamiast a mialo byc z

[bartek118]

literówka zamiast a mialo byc z

Nie robi mi to różnicy w zrozumieniu

[natasza123]

myslalam ze chodzi ci o ten warunek co jest napisany w pierwszym poscie \(\displaystyle{ b-a}\).
chyba cos pomylilam
def polpierscienie:
Rodzina\(\displaystyle{ P \subset 2^X}\) jest półpierscieniem gdy jest zamknieta na branie przeciec skonczonych przeciecia( \(\displaystyle{ \wedge A,B \in P}\) \(\displaystyle{ A \cap B \in P}\)) oraz \(\displaystyle{ \wedge A\in P}\), \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest suma rozlaczna elementow z \(\displaystyle{ P}\).

[bartek118]

Tak, to jest półpierścień. A do miary potrzebujemy sumy - jaki warunek musi spełniać rodzina przeliczalna przedziałów, aby należała do tego półpierścienia?

[natasza123]

dokladnie nie wiem o co ci chodzi wiem ze
z def miary ma byc ze \(\displaystyle{ m( \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n)= \sum_{n=1}^{ \infty } m(A_n)}\)
a co do przeliczalnej sumy przedzialow to chyba musi spelniac te warunki co wczesnije napisalam na polpierscien.

[bartek118]

Dobra - chcesz liczyć miarę sumy zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\), więc musi ona leżeć w tym pierścieniu. Zatem pytanie do Ciebie jest takie - niech \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) oznacza ten półpierścień, jakie warunki musi spełniać przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{ A_n \right\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{P}}\), aby \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{P}}\)?

[natasza123]

juz pisalam musi spelniac kazdy zbior z tej rodziny z innym zbiorem z tej rodziny te dwa warunki na polpierscien.