Miara zewnętrzna jako funkcji infimum i supremum

[MakCis]

Niech \(\displaystyle{ X = \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \mu_{\star}: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow [0,\infty]}\) taka że \(\displaystyle{ \mu_{\star}(A) = \frac{\sup A - \inf A}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ \sup \emptyset = \inf \emptyset = 0}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \mu_{\star}}\) jest miarą zewnętrzną.

Oczywiście \(\displaystyle{ \mu_{\star}(\emptyset)=0}\).

Pokazać jeszcze należy, że dla \(\displaystyle{ A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mu_{\star}(A) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{\star}(A_n)}\).

Ale dla
\(\displaystyle{ A = \left\{ 0,1,10,11 \right\} \\ A_1 = \left\{ 0,1 \right\} \\ A_2 = \left\{ 10,11 \right\} \\ A_3 = A_4 = ... = \left\{ \emptyset \right\}}\)

mamy, że:
\(\displaystyle{ \mu_{\star}(A) = \frac{11}{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{\star}(A_n) = 1}\)

Czy to oznacza, że w zadaniu jest jakiś błąd i\(\displaystyle{ \mu_{\star}}\) nie może być miarą zewnętrzną? Czy ja po prostu coś źle rozumiem?

[a4karo]

W zadaniu nie ma błędu, a \(\displaystyle{ \mu_{*}}\) nie jest miarą zewnętrzną. Uwierz w to, co widzisz.

[MakCis]

Być może jeszcze śpię, ale uważam, że Twoja wypowiedź jest sprzeczna (logicznie). Najpierw stwierdzasz, że w zadaniu nie ma błędu (a więc w szczególności, że \(\displaystyle{ \mu_{\star}}\) jest miarą zewnętrzną) po czym, po przecinku piszesz

\(\displaystyle{ \mu_{\star}}\) nie jest miarą zewnętrzną

Chyba, że Twoja wypowiedź ma jakieś ukryte przesłanie, którego nie widzę...

[a4karo]

Rozumiem ludzi, którzy układają zadania z fałszywą tezą. I nawet ich rozumiem.
Proces badawczy polega na tym, że stawia się hipotezy a potem szuka dowodu na ich potwierdzenie lub kontrprzykładu, aby wykazać jej fałsz. Choćby nie wiem jak przekonywająco brzmiała hipoteza, kontrprzykład ją obala. W takim przypadku badacz musi uwierzyć w siłę swojej argumentacji.

Tutaj hipotezę postawił ktoś za Ciebie, znalazłeś kontrprzykład, ale nie uwierzyłeś .

[MakCis]

W treści zadania jest po prostu:

Pokazać, że \(\displaystyle{ \mu_{\star}}\) jest miarą zewnętrzną.

Gdyby zamiast "Pokazać" było "Sprawdź" to bym nie miał wątpliwości., ale tak wolałem się spytać.