Załóżmy, że \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}}\) jest zbiorem brzegowym miary Lebesgue'a zero. Co można powiedzieć o mierze zbioru \(\displaystyle{ \text{Cl}A}\)?
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ \lambda(\text{Cl}A) \ge 0}\). Z brzegowości \(\displaystyle{ \text{Int}A=\emptyset}\) ale nie za bardzo wiem jak mam to wykorzystać w poszukiwaniu ograniczenia na \(\displaystyle{ \lambda(\text{Cl}A)}\). Intuicyjnie obstawiałbym, że \(\displaystyle{ \lambda(\text{Cl}A) \le \text{sup}A}\) albo nawet \(\displaystyle{ \lambda(\text{Cl}A) \le \text{sup}A - \text{inf}A}\) ale to tylko takie moje przemyślenia...
Miara domknięcia zbioru miary zero
-
szw1710
Miara domknięcia zbioru miary zero
Zbiór liczb wymiernych jest brzegowy i ma miarę zero jako zbiór przeliczalny. Jego domknięciem jest całe \(\displaystyle{ \RR}\), więc ma miarę nieskończoną.
\(\displaystyle{ \QQ\cap[a,b]}\) też jest brzegowy i ma miarę zero. Domknięciem jest \(\displaystyle{ [a,b]}\) i ma miarę pełną, czyli \(\displaystyle{ b-a}\).
Zbiór skończony jest brzegowy i ma miarę zero. Jest domknięty, więc domknięcie też ma miarę zero.
\(\displaystyle{ \QQ\cap[a,b]}\) też jest brzegowy i ma miarę zero. Domknięciem jest \(\displaystyle{ [a,b]}\) i ma miarę pełną, czyli \(\displaystyle{ b-a}\).
Zbiór skończony jest brzegowy i ma miarę zero. Jest domknięty, więc domknięcie też ma miarę zero.
-
szw1710
Miara domknięcia zbioru miary zero
Właśnie. Także nieskończonością.
Miara i topologia to dwie różne rzeczy. Owszem, miary definiujemy m. in. na sigma-ciele zbiorów borelowskich, które w konstrukcji ma zbiory domknięte. Ale różne są własności topologiczne, a różne teoriomiarowe.
Miara i topologia to dwie różne rzeczy. Owszem, miary definiujemy m. in. na sigma-ciele zbiorów borelowskich, które w konstrukcji ma zbiory domknięte. Ale różne są własności topologiczne, a różne teoriomiarowe.