Problem z dowodem

[Miroslav]

Witam, mam problem ze zrozumieniem pewnego dowodu. Twierdzenie brzmi tak:
Niech \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ 1<p<\infty}\), \(\displaystyle{ q\geq 2}\). Istnieje stała \(\displaystyle{ C}\) zależna od \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ q}\) taka, że dla każdych liczb \(\displaystyle{ s, t\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \left(|\frac{s-t}{C}|^q+|\frac{s+t}{2}|^q\right)^{1/q}\leq \left(\frac{|s|^p+|t|^p}{2}\right)^{1/p}}\).

W dowodzie mam coś takiego:
Zakładamy, że \(\displaystyle{ s=1}\), \(\displaystyle{ -1\leq t <1}\). Rozważamy funkcję \(\displaystyle{ g(t)=\left(\frac{1+|t|^p}{2}\right)^{q/p}-\left(\frac{1+t}{2}\right)^q}\). Z tego, że funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie na \(\displaystyle{ [-1, 1)}\) i z tego, że \(\displaystyle{ g''(1)>0}\), \(\displaystyle{ g(1)=g'(1)=0}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \frac{g(t)}{(1-t)^2}}\), a tym bardziej \(\displaystyle{ \frac{g(t)}{(1-t)^q}}\) są ograniczone z dołu na \(\displaystyle{ [-1,1)}\) i z tego wynika, że twierdzenie jest prawdziwe.

Wszystko w tym dowodzie rozumiem odnośnie własności funkcji \(\displaystyle{ g}\), ale nie rozumiem jednej rzeczy: dlaczego na podstawie takich własności funkcji \(\displaystyle{ g}\) możemy wnioskować o prawdziwości lematu? Jakoś tego nie widzę.

[szw1710]

Weź sobie argument postaci \(\displaystyle{ x=\frac{s}{t}}\). Możesz nierówność zapisać równoważnie na \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i już. Albo wrzuć ten argument do \(\displaystyle{ g}\). W tym kierunku bym poszedł.

[Miroslav]

Ale przecież \(\displaystyle{ x}\) może wyskoczyć poza przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\), wystarczy, że \(\displaystyle{ s>t}\). Więc o co chodzi z tą równoważną formą? Bo chyba nie rozumiem.