Funkcje pierwszej klasy Baire'a

[ka_mat]

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ f\in B_{1}(X,Y), g\in C(Y,Z) ,to \
g\circ f\in B_{1} (X,Z)}\).

Gdzie\(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest klasy \(\displaystyle{ B_{1}}\) (pierwsza klasa Baire'a), gdy:
\(\displaystyle{ f\in B_{1}(X,Y)\iff \exists f n :X\to Y, f_{n}\to f}\)
\(\displaystyle{ f_{n}}\) -ciągła
\(\displaystyle{ C(Y,Z)}\) -ciągłe

[Spektralny]

Czego już próbowałaś? Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest pierwszej klasy Baire'a, tj.

\(\displaystyle{ f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x)}\)

dla pewnego ciagu funkcji ciągłych \(\displaystyle{ (f_n)_{n=1}^\infty}\) i każdego \(\displaystyle{ x\in X}\). Rozważ funkcje \(\displaystyle{ g\cdot f_n}\), które są ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych. Użyj ciągłości \(\displaystyle{ g}\) by dostać

\(\displaystyle{ g(f(x)) = \lim_{n\to \infty}g(f_n(x)).}\)

Przyznam, że nie mogę pojąć ludzi, którzy wrzucają tu zadania nie zastanawiając się nad nimi ani sekundy.

[mundson]

A znacie jakiś przystępny przykład na to, że złożenie funkcji pierwszej klasy Baire'a z funkcją ciągłą nie musi być pierwszej klasy Baire'a?

[Spektralny]

A znacie jakiś przystępny przykład na to, że złożenie funkcji pierwszej klasy Baire'a z funkcją ciągłą nie musi być pierwszej klasy Baire'a?

A dlaczego wnosisz, że tak ma być?