zbiór domknięty

[Niuans]

Pokazać, że zbiór:
a)
\(\displaystyle{ \left\{ (x_n)_{n \in N} \in c_0 : x_1+ x_2+ x_3=0 \right\}}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ c_0}\)
b)
\(\displaystyle{ \left\{ (x_n)_{n \in N} \in l_1 : x_1=3*x_2\right\}}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ l_1}\)

[brzoskwinka1]

a) Określamy odwzorowanie \(\displaystyle{ \xi :c_0 \rightarrow \mathbb{R} ,}\) \(\displaystyle{ \xi ((x_n )) =x_1 +x_2 +x_3 .}\) Łatwo widać, że \(\displaystyle{ \xi}\) jest liniowe i ciągłe, ponadto \(\displaystyle{ \xi^{-1} (\{0\} ) =\{(x_n )_{n\in\mathbb{N}} \in c_0 : x_1 +x_2 +x_3=0\} .}\)
b) Analogicznie.