Operator liniowy i jego norma

[Niuans]

1.
Niech \(\displaystyle{ T: c_0 \rightarrow c_0}\) będzie operatorem liniowym określonym wzorem
\(\displaystyle{ T(x)=\left( \frac{1}{3n}x_n\right) _{n \in N}}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n \in N}\in c_0}\).
Wyznaczyć jego normę.
2.Niech \(\displaystyle{ T: l_1 \rightarrow c_0}\) będzie operatorem liniowym określonym wzorem
\(\displaystyle{ T(x)=(( 1- \frac{1}{n}x_n))}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n \in N}\in l_1}\).
Wyznaczyć jego normę.
3.
Niech \(\displaystyle{ T: l_1 \rightarrow l_1}\) będzie operatorem liniowym określonym wzorem
\(\displaystyle{ T(x)=(( 1- \frac{1}{n}x_n))}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n \in N}\in l_1}\).
Wyznaczyć jego normę.

[Adifek]

1. Norma wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

\(\displaystyle{ ||T|| = \sup_{||x||\le1}||Tx||}\)

\(\displaystyle{ ||Tx||= \sup _{n}\left| \frac{1}{3n} x_n \right| \le \frac{1}{3} \sup _{n}\left| x_n \right| = \frac{1}{3} ||x||}\)

Stąd, dla \(\displaystyle{ ||x||\le 1}\) mamy, że \(\displaystyle{ ||Tx|| \le \frac{1}{3}}\), stąd \(\displaystyle{ ||T||\le \frac{1}{3}}\).

To ograniczenie górne jest osiągana, bowiem dla \(\displaystyle{ x=(1,0,0,0,...)}\) mamy, że \(\displaystyle{ ||Tx|| = \frac{1}{3}}\).

[Niuans]

a czy mogę prosić o wytłumaczenie tego zadania bo kompletnie nie wiem jak wyznaczyć poszczególne normy

[Adifek]

2. Robimy analogicznie. Staramy się oszacować z góry \(\displaystyle{ ||Tx||}\) dla \(\displaystyle{ ||x||\le 1}\).

\(\displaystyle{ ||Tx|| = \sup_{n} \left| 1- \frac{1}{n}x_n \right |}\)

\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n |}\), stąd dla \(\displaystyle{ ||x||\le 1}\) mamy, że \(\displaystyle{ 0\le|x_n | \le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).

Otrzymujemy z tego, że \(\displaystyle{ \left| 1- \frac{1}{n}x_n\right|\le 1}\), a zatem \(\displaystyle{ ||T|| \le 1}\).

Istotnie, jest to najmniejsze ograniczenie górne. Biorąc \(\displaystyle{ x=(1,0,0,0,...)}\) dostajemy \(\displaystyle{ ||Tx||=1}\).-- 10 września 2013, 19:15 --

a czy mogę prosić o wytłumaczenie tego zadania bo kompletnie nie wiem jak wyznaczyć poszczególne normy

Standardowa definicja normy operatorowej jako \(\displaystyle{ \inf \left\{ c>0 : ||Tx||\le c||x|| \right\}}\) jest tutaj raczej niewygodna. Pokazuje się, że równoważnie można ją definiować jako \(\displaystyle{ \sup \left\{ ||Tx|| : ||x||\le 1 \right\}}\). Ta definicja jest już wygodniejsza.

Robimy kilka kroków:

1. Możliwie agresywnie ograniczamy \(\displaystyle{ ||Tx||}\) dla \(\displaystyle{ ||x||\le 1}\).
2. Załóżmy, że ograniczeniem wyszła nam liczba \(\displaystyle{ c}\). Wtedy próbujemy znaleźć taki \(\displaystyle{ x}\) o normie nie większej od jedynki, aby było \(\displaystyle{ ||Tx||=c}\). Czasem taki \(\displaystyle{ x}\) może nie istnieć, Szukamy wtedy ciągu \(\displaystyle{ x^{(1)}, x^{(2)},...}\) takiego, aby było \(\displaystyle{ \lim_{n}||Tx^{(n)}|| =c}\).
3. Stwierdzamy, że \(\displaystyle{ c}\) jest normą

Oczywiście takie postępowanie czasem jest problematyczne. Ale przy odrobinie wprawy zwykle udaje się uzyskać normę

[brzoskwinka1]

2.Niech \(\displaystyle{ T: l_1 \rightarrow c_0}\) będzie operatorem liniowym określonym wzorem
\(\displaystyle{ T(x)=(( 1- \frac{1}{n}x_n))}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n \in N}\in l_1}\).
Wyznaczyć jego normę.

Odwzorowanie określone wzorem \(\displaystyle{ T (x) =\left( 1-\frac{1}{n}x_n \right)_{n\in\mathbb{N}}}\) nie odwzorowuje przestrzeni \(\displaystyle{ l_1}\)w przestrzeń\(\displaystyle{ c_0.}\)

3.Niech \(\displaystyle{ T: l_1 \rightarrow l_1}\) będzie operatorem liniowym określonym wzorem \(\displaystyle{ T(x)=(( 1- \frac{1}{n}x_n))}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n \in N}\in l_1}\).
Wyznaczyć jego normę.

Odwzorowanie określone wzorem \(\displaystyle{ T (x) =\left( 1-\frac{1}{n}x_n \right)_{n\in\mathbb{N}}}\) nie odwzorowuje przestrzeni \(\displaystyle{ l_1}\)w przestrzeń\(\displaystyle{ l_1 .}\)

[Adifek]

brzoskwinka1, w pierwszym przypadku nie masz racji. W drugim już tak.

[Spektralny]

Adifek, oblicz \(\displaystyle{ T(0)}\) (swoją drogą \(\displaystyle{ T}\) nie jest nawet liniowe).

[Adifek]

Dobra, brzoskwinka1 miała jednak rację - wygląda na to, że żyłem w nieświadomości ze znajomością niestandardowych oznaczeń

[brzoskwinka1]

Tak sobie myślę, że miało chyba być \(\displaystyle{ T\left( x \right) =\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)x_n \right)_{n\in\mathbb{N}} .}\)