Norma Bieleckiego

[Abelardimo]

Witam, mam problem
jest dana norma Bieleckiego
\(\displaystyle{ ||z||_{*}=\max\left\{ |z(t)| \exp \left[ -2 \left| \int\limits_{t_{0}}^{t}c(\tau)d\tau \right| \right] \right\}}\)

Potrzeba jakoś pokazać, że \(\displaystyle{ c_{1}||z|| \leq ||z||_{*} \leq c_{2}||z||}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ ||z||}\) jest normą supremum.

I własnie jest problem jak ta norma supremum wygląda i jakie wtedy powinny być te stałe \(\displaystyle{ c_{1},c_2}\)??
wie ktoś może jak to zrobić??

[Janusz Tracz]

Brakuje mi trochę danych w tym zadaniu bo nie wiadomo czym jest funkcja \(\displaystyle{ c}\) oraz na jakiej dziedzinie są określone te wszystkie funkcje. Dla funkcji ciągłej \(\displaystyle{ \omega}\) o wartościach dodatnich \(\displaystyle{ \omega}\)-metrykę Bieleckiego definiuje się na \(\displaystyle{ \mathcal{C}(\left[ a,b\right],\RR) \times \mathcal{C}(\left[ a,b\right],\RR)}\) (czasem też na \(\displaystyle{ \mathcal{C}(\left[ a,b\right],L_p(\Omega)) \times \mathcal{C}(\left[ a,b\right],L_p(\Omega))}\)) wzorem

\(\displaystyle{ d_{\omega}(x,y)=\sup_{t\in[a,b]}\omega(t)|x(t)-y(t)|}\)

i widać, że

\(\displaystyle{ \inf_{\xi\in[a,b]}\omega(\xi) \sup_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)| \le d_{\omega}(x,y)\le \sup_{\xi\in[a,b]}\omega(\xi) \sup_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)|. }\)

Co czynie \(\displaystyle{ \omega}\)-metrykę Bieleckiego lipschitzowsko (zatem też topologicznie) równoważną ze standardową metryką supremum. I tu w tym zadaniu pewnie jest podobnie. Przy założeniu, że \(\displaystyle{ c:[0,T]\to \RR}\) jest na tyle porządną funkcją (wystarczy ciągłość) by odwzorowanie

\(\displaystyle{ t\mapsto \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) }\)

było ciągłe mamy, że dla dowolnej \(\displaystyle{ z\in \mathcal{C}(\left[ 0,T\right],\RR)}\)

\(\displaystyle{ \inf_{t\in[0,T]} \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) \|z\| \le \|z\|_{*} \le \sup_{t\in[0,T]} \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) \|z\|. }\)

Co daje szukane stałe i sprawia, że norma \(\displaystyle{ \|\|_{*}:\mathcal{C}(\left[ 0,T\right],\RR)\to \RR}\) jest równoważna normie supremum. W przypadku z przesunięciem o \(\displaystyle{ t_0}\) niewiele się zmienia. Tak to widzę przy standardowych założeniach choć nie upieram się, że nie dało by się zrezygnować ze zwartości dziedziny lub ciągłości na koszt innych raczej niestandardowych założeń.