Ośrodkowa przestrzeń Hilberta

[TPB]

Wykazać, że w każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta istnieje układ ortonormalny zupełny.

Zakładam, że wymiar przestrzeni Hilberta jest nieskończony; przypadek skończeniewymiarowy na sprawia mi żadnych trudności.
Niech \(\displaystyle{ (H,\left( \cdot , \cdot \right))}\) będzie przestrzenią z treści zadania.
Wtedy istnieje przeliczalna baza \(\displaystyle{ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}}}\) w tej przestrzeni, bo każda przestrzeń wektorowa ma bazę. Nie tracąc na ogólności (ortonormalizacja Grama-Schmidta), można założyć, że jest to układ ortonormalny. W przestrzeni unitarnej ośrodkowej wszystkie układy ortogonalne są co najwyżej przeliczalne (dlatego opisana powyżej baza jest przeliczalna).
Niech teraz \(\displaystyle{ x \in H}\) będzie taki, że \(\displaystyle{ \left( x,e_{n}\right) = 0}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).
W takim razie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty }\left| \left( x,e_{n}\right) \right|^{2} = 0}\), czyli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty }\left| \left( x,e_{n}\right) \right|^{2}}\) jest zbieżny.
Stąd, na podstawie tw. Riesza-Fishera, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left| \left| x\right| \right|^{2} = \sum_{n=1}^{+ \infty }\left| \left( x,e_{n}\right) \right|^{2} = 0}\). Z definicji normy wynika, że \(\displaystyle{ x=0}\).
Zatem układ \(\displaystyle{ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}}}\) jest zupełny.

Czy jest to poprawne rozumowanie? Jeżeli nie, to gdzie tkwi błąd?
Mój niepokój najbardziej budzi te kombinowanie z bazą na początku.

Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki.

[Spektralny]

Wtedy istnieje przeliczalna baza \(\displaystyle{ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}}}\) w tej przestrzeni, bo każda przestrzeń wektorowa ma bazę.

Baza Hamela rzeczywiście istnieje ale ma ona koniecznie moc continuum (użyj twierdzenia Baire'a by pokazać, że na pewno jest nieprzeliczalna) i raczej nijak ma się do rozwiązania problemu.

W przestrzeni unitarnej ośrodkowej wszystkie układy ortogonalne są co najwyżej przeliczalne (dlatego opisana powyżej baza jest przeliczalna).

Niestety tamten zbiór jest nieprzeliczalny, więc stosowanie do niego metody ortogonalizacji Grama-Schmidta nie zda się na wiele.

Pokażemy, że każda przestrzeń Hilberta ma maksymalny układ ortonormalny. Istotnie, wynika to natychmiast z lematu Kuratowskiego-Zorna zastosowanego do rodziny zbiorów ortonormalnych uporządkowanych przez inkluzję. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie maksymalną rodziną ortonormalną. Użyj maksymalności by pokazać jej zupełność.