Odległość ciągów w przestrzeni l_{2}
: 2 mar 2013, o 16:38
W przestrzeni \(\displaystyle{ l_{2}}\) wyznaczyć odległość ciągów \(\displaystyle{ x=\left( x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}}}\) i \(\displaystyle{ y=\left( y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N*}}\) i
\(\displaystyle{ x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)}\), \(\displaystyle{ y=\left( 0, 0,...\right)}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{N*}=\left\{ 1, 2,...\right\}}\).
\(\displaystyle{ x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)}\)
\(\displaystyle{ y=\left( 0, 0,...\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right|_{2}=?}\)
\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right|_{2}=\left| \left| \bigg( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \bigg) \right| \right|=\left( \sum_{i=1}^{ \infty }\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left( \sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } =\left( k\left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{k} \cdot \frac{1}{k}}\)
moje pytanie jest następujące: czy mój tok rozumowania tego jest dobry?
\(\displaystyle{ x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)}\), \(\displaystyle{ y=\left( 0, 0,...\right)}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{N*}=\left\{ 1, 2,...\right\}}\).
\(\displaystyle{ x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)}\)
\(\displaystyle{ y=\left( 0, 0,...\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right|_{2}=?}\)
\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right|_{2}=\left| \left| \bigg( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \bigg) \right| \right|=\left( \sum_{i=1}^{ \infty }\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left( \sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } =\left( k\left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{k} \cdot \frac{1}{k}}\)
moje pytanie jest następujące: czy mój tok rozumowania tego jest dobry?