Nierówność Schwarza

[Studentka_mat]

Zapisać nierówność Schwarza dla przestrzeni \(\displaystyle{ l^2}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ <x,y>= \sum_{k=1}^{\infty}t_k \overline s_k,}\) gdzie \(\displaystyle{ x=(t_k),\ y=(s_k)}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \left| \sum\limits_{k=1}^\infty t_k\overline{s}_k\right|\leq \sqrt{\left( \sum\limits_{k=1}^\infty |t_k|^2\right)}\sqrt{ \left( \sum\limits_{k=1}^\infty |s_k|^2\right)}}\)

[Studentka_mat]

A czy nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ \left| \sum\limits_{k=1}^\infty t_k\overline{s}_k\right|\leq \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^\infty |t_k|^2} \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^\infty |s_k|^2}}\)

[yorgin]

Widzisz, wiesz lepiej ode mnie. Oczywiście, że masz rację. Zupełnie zapomniałem o pierwiastkach

Ewentualnie można to zapisać prawie tak, jak ja zapisałem, ale z drobną różnicą:

\(\displaystyle{ \left| \sum\limits_{k=1}^\infty t_k\overline{s}_k\right|^{\red 2}\black\leq \left( \sum\limits_{k=1}^\infty |t_k|^2\right) \left( \sum\limits_{k=1}^\infty |s_k|^2\right)}\)

Być może tym się miałem kierować na początku, i zapomniałem o potędze. Albo o pierwiastku. Najważniejsze, że wszystko się wyjaśniło.